3.1.1 方程的根与函数的零点优质教案设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

尝试练习

探索研究

作业回馈

课外活动

结合二次函数引入课题．

二次函数的零点及零点存在性的．

零点存在性为练习重点．

进一步探索函数零点存在性的判定．

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设置

师生双边互动

创

设

情

境

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

1方程 与函数

2方程 与函数

3方程 与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

组

织

探

究

函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

1　代数法；

2　几何法．

二次函数的零点：

二次函数

　　　　　 ．

１）△＞０，方程 有两不等

师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．

环节

教学内容设置

师生双边互动

组

织

探

究

实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

1 在区间 上有零点______；

_______， _______,

· _____0（＜或＞）．

2 在区间 上有零点______；

· ____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

1 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

2 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

3 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

环节

教学内容设置

师生互动设计

例

题

研

究

例1．求函数 的零点个数．

问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数 ，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

尝

试

练

习

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．

探

究

与

发

现

1．已知 ，请探究方程 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．

2．设函数 ．

（1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；

（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？

环节

教学内容设置

师生互动设计

作

业

回

馈

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
求下列函数的零点：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1） ；

（2） ．

已知 ：

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．

求下列函数的定义域：

（1） ；

（2） ；

（3）

课

外

活

动

研究 ， ，

， 的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．

考虑列表，建议画出图象帮助分析．

收

获

与

体

会

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

尝试练习

探索研究

作业回馈

课外活动

结合二次函数引入课题．

二次函数的零点及零点存在性的．

零点存在性为练习重点．

进一步探索函数零点存在性的判定．

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设置

师生双边互动

创

设

情

境

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

1方程 与函数

2方程 与函数

3方程 与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

组

织

探

究

函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

1　代数法；

2　几何法．

二次函数的零点：

二次函数

　　　　　 ．

１）△＞０，方程 有两不等

师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．

环节

教学内容设置

师生双边互动

组

织

探

究

实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

1 在区间 上有零点______；

_______， _______,

· _____0（＜或＞）．

2 在区间 上有零点______；

· ____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

1 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

2 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

3 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

环节

教学内容设置

师生互动设计

例

题

研

究

例1．求函数 的零点个数．

问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数 ，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

尝

试

练

习

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．

探

究

与

发

现

1．已知 ，请探究方程 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．

2．设函数 ．

（1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；

（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？

环节

教学内容设置

师生互动设计

作

业

回

馈

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
求下列函数的零点：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1） ；

（2） ．

已知 ：

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．

求下列函数的定义域：

（1） ；

（2） ；

（3）

课

外

活

动

研究 ， ，

， 的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．

考虑列表，建议画出图象帮助分析．

收

获

与

体

会

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．