3.1.1 方程的根与函数的零点第二课时教学实录

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

 1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程的根之间的关系，掌握零点存在的判定条件．
 2. 探求零点存在性的判定，感知归纳总结与概括的思想方法.

由于初中学习了一次函数和二次函数，及高中又刚刚学习过了函数的性质，所以先由一次函数和二次函数入手，学生易于接受，也能很快掌握，通过函数图象及信息技术的应用，学生能够加深认识和理解根与零点的知识. 

重点：零点的概念及零点与方程的根之间的关系．

难点：零点存在的条件

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）

①方程 与函数

②方程 与函数

          ③方程 与函数

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

函数零点的求法：

求函数 的零点：

①（代数法）求方程 的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；

　  ②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数    ．

（１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

① 在区间 上有零点______；

_______， _______,

· _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上有零点______；

· ____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

① 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

③ 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

1．学生在教师指导下完成下列例题

求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？X k b 1 . c o m

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数 ，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来

画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．练习第1,2题

请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）

①方程 与函数

②方程 与函数

          ③方程 与函数

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

函数零点的求法：

求函数 的零点：

①（代数法）求方程 的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；

　  ②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数    ．

（１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

① 在区间 上有零点______；

_______， _______,

· _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上有零点______；

· ____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

① 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

③ 在区间 上______(有/无)零点；

· _____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

1．学生在教师指导下完成下列例题

求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？X k b 1 . c o m

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数 ，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来

画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．练习第1,2题

请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出