| 共1课时 3.1.1 方程的根与函数的… 高中数学 人教A版2003课标版 1学情分析学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。 在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。 2教学目标认知目标 函数理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 掌握方程的实根与相应函数零点之间的关系 会对零点存在性的探索 能力目标 强化数形结合的数学思想方法 培养学生发现问题、探究新知的能力 情感目标 在探究学习中体验数学学习的乐趣 3重点难点重点：理解函数零点的概念和掌握根的存在性定理，零点有关的几个等价关系的应用 难点 ：零点个数的确定。 4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【讲授】方程的根与函数的零点创设情景，发现问题 创设问题情景，组织学生完成探究表格一的同时思考：一元二次方程 的实数根与二次函数 的图象有什么关系？ 一元二次方程 实数根个数 （判别式 ） 方程的实数根 二次函数 函数的图象 （简图） 图象与x轴 交点的坐标 结论：一元二次方程 的实数根就是二次函数 的图象与x轴交点的横坐标，其实就是二次函数 中满足 的实数 的值 1.函数零点的概念 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点。 2.三个等价关系 方程 的根 函数 的图像与 轴交点的横坐标 函数 的零点 即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点，而且方程根的个数与函数零点的个数是一致的。 例1． ） A. ( 1, 0 ) ,( -2 ,0 ),( 3 , 0 ) B . 1 , 3 C .( 0 ,1 ),( 0 , - 2 ),( 0 ,3 ) D . 1 ,-2 , 3 探究结论 组织学生以探究的方式观察函数零点左（右）函数值的特点，并由学生自己尝试归纳在怎样的条件下，函数 （如图5）。在 上存在有零点。 图5 ①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。 ②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。 ③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。 （教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论） 在课堂教学中教师及时根据学生归纳的“条件”进行诊断、补充，以此避免生硬地辨析定理的关键点，又能达到让学生理解定理的目的，最终在师生交互活动共同获得函数零点存在的判定条件， 零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根. （1）定理辨析 . 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例 ①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点. （ ） ②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点 （ ） ③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) 练一练： 函数 的零点所在的大致区间 （ ） A. （1，2） B. （2，3） C. 和（3，4） D. 观察感知，例题学习 例2：函数 是否存在零点？若存在，判断零点的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 解：用计算器或计算机作出 的对应值表和图象. 由表和图可知 ,则 ,这说明函数在区间 内有零点.由于函数在定义域 内是增函数,所以它仅有一个零点. 思考题： （1）你能给出 在定义域上是增函数的证明？ （2）（方法拓展）若将例2改成“求方程 的实根的个数？”，你可有其他的解题思路？ 提示（数形结合）：设 ，则方程 的实根的个数就是函数 与 图象交点的个数，而 是对数函数， 是一次函数，均能画出草图（如图），从而问题得以解决。 【课堂小结】 ① 什么是函数的零点？； ② 方程 的实根与函数 的零点的关系； ③ 应用“根的存在性定理”说明函数存在零点； ④ 体会借助计算机作出函数图象和对应值表，从而直观的判断零点是否存在。 课后作业：你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？ 3.1.1 方程的根与函数的零点 课时设计 课堂实录3.1.1 方程的根与函数的零点 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】方程的根与函数的零点创设情景，发现问题 创设问题情景，组织学生完成探究表格一的同时思考：一元二次方程 的实数根与二次函数 的图象有什么关系？ 一元二次方程 实数根个数 （判别式 ） 方程的实数根 二次函数 函数的图象 （简图） 图象与x轴 交点的坐标 结论：一元二次方程 的实数根就是二次函数 的图象与x轴交点的横坐标，其实就是二次函数 中满足 的实数 的值 1.函数零点的概念 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点。 2.三个等价关系 方程 的根 函数 的图像与 轴交点的横坐标 函数 的零点 即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点，而且方程根的个数与函数零点的个数是一致的。 例1． ） A. ( 1, 0 ) ,( -2 ,0 ),( 3 , 0 ) B . 1 , 3 C .( 0 ,1 ),( 0 , - 2 ),( 0 ,3 ) D . 1 ,-2 , 3 探究结论 组织学生以探究的方式观察函数零点左（右）函数值的特点，并由学生自己尝试归纳在怎样的条件下，函数 （如图5）。在 上存在有零点。 图5 ①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。 ②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。 ③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。 （教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论） 在课堂教学中教师及时根据学生归纳的“条件”进行诊断、补充，以此避免生硬地辨析定理的关键点，又能达到让学生理解定理的目的，最终在师生交互活动共同获得函数零点存在的判定条件， 零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根. （1）定理辨析 . 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例 ①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点. （ ） ②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点 （ ） ③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) 练一练： 函数 的零点所在的大致区间 （ ） A. （1，2） B. （2，3） C. 和（3，4） D. 观察感知，例题学习 例2：函数 是否存在零点？若存在，判断零点的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 解：用计算器或计算机作出 的对应值表和图象. 由表和图可知 ,则 ,这说明函数在区间 内有零点.由于函数在定义域 内是增函数,所以它仅有一个零点. 思考题： （1）你能给出 在定义域上是增函数的证明？ （2）（方法拓展）若将例2改成“求方程 的实根的个数？”，你可有其他的解题思路？ 提示（数形结合）：设 ，则方程 的实根的个数就是函数 与 图象交点的个数，而 是对数函数， 是一次函数，均能画出草图（如图），从而问题得以解决。 【课堂小结】 ① 什么是函数的零点？； ② 方程 的实根与函数 的零点的关系； ③ 应用“根的存在性定理”说明函数存在零点； ④ 体会借助计算机作出函数图象和对应值表，从而直观的判断零点是否存在。 课后作业：你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？ Tags：3.1.1,方程,函数,零点,第二  |
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