共1课时 3.1.1 方程的根与函数的… 高中数学 人教A版2003课标版 1学情分析学生有较好的数学基础和数学理解能力,喜欢思考,乐于探究。 在学习一次函数和二次函数时,教师结合课后习题,对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。 2教学目标认知目标 函数理解函数零点的概念,会求简单函数的零点 掌握方程的实根与相应函数零点之间的关系 会对零点存在性的探索 能力目标 强化数形结合的数学思想方法 培养学生发现问题、探究新知的能力 情感目标 在探究学习中体验数学学习的乐趣 3重点难点重点:理解函数零点的概念和掌握根的存在性定理,零点有关的几个等价关系的应用 难点 :零点个数的确定。 4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【讲授】方程的根与函数的零点创设情景,发现问题 创设问题情景,组织学生完成探究表格一的同时思考:一元二次方程 的实数根与二次函数 的图象有什么关系? 一元二次方程 实数根个数 (判别式 ) 方程的实数根 二次函数 函数的图象 (简图) 图象与x轴 交点的坐标 结论:一元二次方程 的实数根就是二次函数 的图象与x轴交点的横坐标,其实就是二次函数 中满足 的实数 的值 1.函数零点的概念 函数零点的概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。 2.三个等价关系 方程 的根 函数 的图像与 轴交点的横坐标 函数 的零点 即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点,而且方程根的个数与函数零点的个数是一致的。 例1. ) A. ( 1, 0 ) ,( -2 ,0 ),( 3 , 0 ) B . 1 , 3 C .( 0 ,1 ),( 0 , - 2 ),( 0 ,3 ) D . 1 ,-2 , 3 探究结论 组织学生以探究的方式观察函数零点左(右)函数值的特点,并由学生自己尝试归纳在怎样的条件下,函数 (如图5)。在 上存在有零点。 图5 ①区间[a,b]上______(有/无)零点;f(a)·f(b)_____0(<或>)。 ②区间[b,c]上______(有/无)零点;f(b)·f(c)_____0(<或>)。 ③区间[c,d]上______(有/无)零点;f(c)·f(d)_____0(<或>)。 (教师引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析总结概括形成结论) 在课堂教学中教师及时根据学生归纳的“条件”进行诊断、补充,以此避免生硬地辨析定理的关键点,又能达到让学生理解定理的目的,最终在师生交互活动共同获得函数零点存在的判定条件, 零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根. (1)定理辨析 . 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例 ①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点. ( ) ②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点 ( ) ③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) 练一练: 函数 的零点所在的大致区间 ( ) A. (1,2) B. (2,3) C. 和(3,4) D. 观察感知,例题学习 例2:函数 是否存在零点?若存在,判断零点的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 解:用计算器或计算机作出 的对应值表和图象. 由表和图可知 ,则 ,这说明函数在区间 内有零点.由于函数在定义域 内是增函数,所以它仅有一个零点. 思考题: (1)你能给出 在定义域上是增函数的证明? (2)(方法拓展)若将例2改成“求方程 的实根的个数?”,你可有其他的解题思路? 提示(数形结合):设 ,则方程 的实根的个数就是函数 与 图象交点的个数,而 是对数函数, 是一次函数,均能画出草图(如图),从而问题得以解决。 【课堂小结】 ① 什么是函数的零点?; ② 方程 的实根与函数 的零点的关系; ③ 应用“根的存在性定理”说明函数存在零点; ④ 体会借助计算机作出函数图象和对应值表,从而直观的判断零点是否存在。 课后作业:你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗? 3.1.1 方程的根与函数的零点 课时设计 课堂实录3.1.1 方程的根与函数的零点 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】方程的根与函数的零点创设情景,发现问题 创设问题情景,组织学生完成探究表格一的同时思考:一元二次方程 的实数根与二次函数 的图象有什么关系? 一元二次方程 实数根个数 (判别式 ) 方程的实数根 二次函数 函数的图象 (简图) 图象与x轴 交点的坐标 结论:一元二次方程 的实数根就是二次函数 的图象与x轴交点的横坐标,其实就是二次函数 中满足 的实数 的值 1.函数零点的概念 函数零点的概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。 2.三个等价关系 方程 的根 函数 的图像与 轴交点的横坐标 函数 的零点 即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点,而且方程根的个数与函数零点的个数是一致的。 例1. ) A. ( 1, 0 ) ,( -2 ,0 ),( 3 , 0 ) B . 1 , 3 C .( 0 ,1 ),( 0 , - 2 ),( 0 ,3 ) D . 1 ,-2 , 3 探究结论 组织学生以探究的方式观察函数零点左(右)函数值的特点,并由学生自己尝试归纳在怎样的条件下,函数 (如图5)。在 上存在有零点。 图5 ①区间[a,b]上______(有/无)零点;f(a)·f(b)_____0(<或>)。 ②区间[b,c]上______(有/无)零点;f(b)·f(c)_____0(<或>)。 ③区间[c,d]上______(有/无)零点;f(c)·f(d)_____0(<或>)。 (教师引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析总结概括形成结论) 在课堂教学中教师及时根据学生归纳的“条件”进行诊断、补充,以此避免生硬地辨析定理的关键点,又能达到让学生理解定理的目的,最终在师生交互活动共同获得函数零点存在的判定条件, 零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根. (1)定理辨析 . 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例 ①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点. ( ) ②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点 ( ) ③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) 练一练: 函数 的零点所在的大致区间 ( ) A. (1,2) B. (2,3) C. 和(3,4) D. 观察感知,例题学习 例2:函数 是否存在零点?若存在,判断零点的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 解:用计算器或计算机作出 的对应值表和图象. 由表和图可知 ,则 ,这说明函数在区间 内有零点.由于函数在定义域 内是增函数,所以它仅有一个零点. 思考题: (1)你能给出 在定义域上是增函数的证明? (2)(方法拓展)若将例2改成“求方程 的实根的个数?”,你可有其他的解题思路? 提示(数形结合):设 ,则方程 的实根的个数就是函数 与 图象交点的个数,而 是对数函数, 是一次函数,均能画出草图(如图),从而问题得以解决。 【课堂小结】 ① 什么是函数的零点?; ② 方程 的实根与函数 的零点的关系; ③ 应用“根的存在性定理”说明函数存在零点; ④ 体会借助计算机作出函数图象和对应值表,从而直观的判断零点是否存在。 课后作业:你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗? Tags:3.1.1,方程,函数,零点,第二 |
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