3.1.1 方程的根与函数的零点优秀说课稿

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，

2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．

4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

现阶段大部分学生学习的目的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对方程的根与函数的零点的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化思想，并且探究能力、逻辑推理能力得到一定锻炼。因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

1.零点概念的认识．

2.零点存在性的判断．

3.零点（或零点个数）的确定．

基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

变式：解方程3x5＋6x－1=0的实数根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。）

1、零点的概念

问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；

   方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

 问题2 观察形式上函数y＝x2－2x－3与相应方程x2－2x－3＝0的联系。

函数y＝0时的表达式就是方程x2－2x－3＝0。

问题3 由于形式上的联系，则方程x2－2x－3＝0的实数根在函数y＝x2－2x－3的图象中如何体现？

y＝0即为x轴，所以方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。

问题4 函数y＝x2－2x＋1和函数y＝x2－2x＋3零点分别是什么？

函数y＝x2－2x＋1的零点是-1。函数y＝x2－2x＋3不存在零点。

提出零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．（zero point）

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。         （Ⅰ）

问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？                           （Ⅱ）

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

例题1  观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？

分析：函数 图象是连续不断的，又因为 ，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

例题2  求函数 的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x， 的对应值表和图象。

由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则 ，这说明函数 在区间（2，3）内有零点。结合函数 的单调性，进而说明 零点是只有唯一一个．

练习：判断下列函数是否存在零点，指出零点所在的大致区间?

① f（x）=2xln(x-2)-3；

②f（x）= 2x＋2x－6．

通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结．

1．教材P92习题3．1（A组）第2题；

2．求下列函数的零点：

3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

4．已知 ．

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．

选做题：设函数 ．

（1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；

（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

变式：解方程3x5＋6x－1=0的实数根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。）

1、零点的概念

问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；

   方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

 问题2 观察形式上函数y＝x2－2x－3与相应方程x2－2x－3＝0的联系。

函数y＝0时的表达式就是方程x2－2x－3＝0。

问题3 由于形式上的联系，则方程x2－2x－3＝0的实数根在函数y＝x2－2x－3的图象中如何体现？

y＝0即为x轴，所以方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。

问题4 函数y＝x2－2x＋1和函数y＝x2－2x＋3零点分别是什么？

函数y＝x2－2x＋1的零点是-1。函数y＝x2－2x＋3不存在零点。

提出零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．（zero point）

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。         （Ⅰ）

问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？                           （Ⅱ）

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

例题1  观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？

分析：函数 图象是连续不断的，又因为 ，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

例题2  求函数 的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x， 的对应值表和图象。

由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则 ，这说明函数 在区间（2，3）内有零点。结合函数 的单调性，进而说明 零点是只有唯一一个．

练习：判断下列函数是否存在零点，指出零点所在的大致区间?

① f（x）=2xln(x-2)-3；

②f（x）= 2x＋2x－6．

通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结．

1．教材P92习题3．1（A组）第2题；

2．求下列函数的零点：

3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

4．已知 ．

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．

选做题：设函数 ．

（1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；

（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？

• 优点:

  教学内容安排合理，容量适当。教学环节清晰，教学方法选择和学生活动设计有利于目标达成。作业设计体现差异性，学生有自主选择的空间。

• 缺点:

  教学设计有些地方格式不规范