3.1.1 方程的根与函数的零点优质课教案设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能目标：结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；正确运用零点存在性定理判定函数零点的存在问题并能确定零点所在的大致区间；

过程与方法目标：通过学生自己观察发现得出方程根与函数零点的关系，合作探究函数零点存在的条件，培养学生发现问题、解决问题的能力及合作交流的能力

情感态度价值目标：学会由特殊到一般的研究方法，理解数形结合思想在解决问题中的作用。

学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在已经会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础．但是学生对其他函数的图象与性质认识不深，对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点．加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂．因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系．

重点：零点的概念、求法和零点存在性判定定理

难点：利用零点存在性判定定理判定函数零点的存在性 

提问我们一般都用什么方法求解一元二次方程，根据学生回答引入探索一元二次方程与二次函数的图像之间关系

观察三个一元二次方程x²-2x-3=0,x²-2x+1=0,x²-2x+3=0的实根与其所对应的二次函数图像之间的关系，并在一般情况下探索是否成立

一般情况下完成下表

结论：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根

 零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

[思考] 零点是一个点吗?

函数y=f(x)有零点

    <等价于> 方程f(x)=0有实数根

    <等价于>  函数y=f(x)的图象与x轴有交点.

那么如何求函数的零点呢？

法一：求方程f(x)=0的实数根（代数法）

法二：求函数y=f(x)的图像与x轴的交点（几何法）

求下列函数的零点

(1)f(x)=-x²+x+2

(2)f(x)=3x²+2x+1

探究一：一只小蚂蚁从A点爬到B点去觅食，下列哪一种情况蚂蚁爬行的路线必经过x轴？

探究二：观察二次函数f(x)=x²-2x-3的图象，我们发现函数f(x)在区间[-2,1] 上有零点。计算f(-2) 和 f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4] 上是否也具有这种特点呢？

结论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点。

结论理解：

思考一：若只给条件f(a)·f(b)<0能否保证f(x)在(a,b)内有零点？

思考二：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？

思考三：若在区间（a，b）内有零点时，一定有f(a)·f(b) <0吗？

思考四：若定理条件满足，零点是否唯一存在？

1，函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内（     ）

    A.至少有一个零点                         B.至多有一个零点

   C.只有一个零点                           D.有两个零点

2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

函数在区间[1,6]上的零点至少有 __________个.

3,求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。

作业：

   P88练习：1题  

   P92习题3.1A组：2题

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

提问我们一般都用什么方法求解一元二次方程，根据学生回答引入探索一元二次方程与二次函数的图像之间关系

观察三个一元二次方程x²-2x-3=0,x²-2x+1=0,x²-2x+3=0的实根与其所对应的二次函数图像之间的关系，并在一般情况下探索是否成立

一般情况下完成下表

结论：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根

 零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

[思考] 零点是一个点吗?

函数y=f(x)有零点

    <等价于> 方程f(x)=0有实数根

    <等价于>  函数y=f(x)的图象与x轴有交点.

那么如何求函数的零点呢？

法一：求方程f(x)=0的实数根（代数法）

法二：求函数y=f(x)的图像与x轴的交点（几何法）

求下列函数的零点

(1)f(x)=-x²+x+2

(2)f(x)=3x²+2x+1

探究一：一只小蚂蚁从A点爬到B点去觅食，下列哪一种情况蚂蚁爬行的路线必经过x轴？

探究二：观察二次函数f(x)=x²-2x-3的图象，我们发现函数f(x)在区间[-2,1] 上有零点。计算f(-2) 和 f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4] 上是否也具有这种特点呢？

结论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点。

结论理解：

思考一：若只给条件f(a)·f(b)<0能否保证f(x)在(a,b)内有零点？

思考二：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？

思考三：若在区间（a，b）内有零点时，一定有f(a)·f(b) <0吗？

思考四：若定理条件满足，零点是否唯一存在？

1，函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内（     ）

    A.至少有一个零点                         B.至多有一个零点

   C.只有一个零点                           D.有两个零点

2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

函数在区间[1,6]上的零点至少有 __________个.

3,求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。

作业：

   P88练习：1题  

   P92习题3.1A组：2题