3.1.1 方程的根与函数的零点课堂实录【2】

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过

一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中

的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思

想解决一些生活中的简单问题。

1 .通过二次函数的图象,得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,

了解函数零点与方程根的联系。

2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想。

3.借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、

指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系。

4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识。

教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养

本节重点是通过“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识；认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题。

在利用二分法求解方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此获得给定精度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具；学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定的困难，如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难。

一、自学导引：

自读课本P86-88内容，自学时注意以下问题：

一元二次方程与二次函数的关系；
函数零点的概念

2、完成下列问题：

（1）二次函数 在R上有　　　个零点 ，在（0，３）上有    个零点。

（2）二次函数的零点

图象

的根

图象与 轴交点

函数零点个数及零点

>0

=0

<0

二、知识点点拨：

1、函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

2、函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索）

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

1 在区间 上有零点______；

_______， _______,       · _____0（＜或＞）．

2 在区间 上有零点______；        · ____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

1 在区间 上______(有/无)零点；    · _____0（＜或＞）．

2 在区间 上______(有/无)零点；    · _____0（＜或＞）．

3 在区间 上______(有/无)零点；   · _____0（＜或＞）．

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数 在区间 上图象是连续不断）的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 =0的根(注意：反之不一定成立)

三、例题讲解

例１、已知函数 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：

1

2

3

4

5

6

7

8

7

–3

5

–5

–4

–8

那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（    ）个

    A．5   B．4    C．3    D．2

分析：

解：略

例２、方程 必有一个根的区间是（    ）

分析：可用零点存在定是验证

解：略

例３、（1）求证：函数 在区间 　上存在零点．

（2）当        　（给出一个实数值即可）时，函数 在区间 上存在零点．

分析：因为 ，由零点存在定理可知存在零点

解：略

例4、：（1）求函数 的零点

（2）设函数 ，求函数 的零点

分析： 的零点就是方程 的实根

解：略

四、课堂小练：

1、求下列函数的零点

；  （2）

2、．若函数 只有一个零点2，那么函数 的零点是（ ）

Ａ、    Ｂ、     Ｃ、    Ｄ、 

3、对于函数 ，若 (m<n)，则函数 在区间 内 （ ）

A、一定没有零点   B、可能有两个零点  C、有且只有一个零点  D、一个或两个零点

4、已知二次函数 有两个相异零点 ，且函数 满足 ，则

5、二次函数 若 则 （   ），

    A、   B、   C、 　D、　

五、课堂小结：请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些。

六、作业：

书面作业：   1、教材P92第2题    2、求下列函数的零点：

（1） ；（2） ；（3）

3、若方程 在（0，1）内恰有一解，求 的取值范围  

预习作业：预习二次函数的零点及根的分布

七、教后记：

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

一、自学导引：

自读课本P86-88内容，自学时注意以下问题：

一元二次方程与二次函数的关系；
函数零点的概念

2、完成下列问题：

（1）二次函数 在R上有　　　个零点 ，在（0，３）上有    个零点。

（2）二次函数的零点

图象

的根

图象与 轴交点

函数零点个数及零点

>0

=0

<0

二、知识点点拨：

1、函数零点的概念：

对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

2、函数零点的意义：

函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索）

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

1 在区间 上有零点______；

_______， _______,       · _____0（＜或＞）．

2 在区间 上有零点______；        · ____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

1 在区间 上______(有/无)零点；    · _____0（＜或＞）．

2 在区间 上______(有/无)零点；    · _____0（＜或＞）．

3 在区间 上______(有/无)零点；   · _____0（＜或＞）．

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数 在区间 上图象是连续不断）的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 =0的根(注意：反之不一定成立)

三、例题讲解

例１、已知函数 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：

1

2

3

4

5

6

7

8

7

–3

5

–5

–4

–8

那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（    ）个

    A．5   B．4    C．3    D．2

分析：

解：略

例２、方程 必有一个根的区间是（    ）

分析：可用零点存在定是验证

解：略

例３、（1）求证：函数 在区间 　上存在零点．

（2）当        　（给出一个实数值即可）时，函数 在区间 上存在零点．

分析：因为 ，由零点存在定理可知存在零点

解：略

例4、：（1）求函数 的零点

（2）设函数 ，求函数 的零点

分析： 的零点就是方程 的实根

解：略

四、课堂小练：

1、求下列函数的零点

；  （2）

2、．若函数 只有一个零点2，那么函数 的零点是（ ）

Ａ、    Ｂ、     Ｃ、    Ｄ、 

3、对于函数 ，若 (m<n)，则函数 在区间 内 （ ）

A、一定没有零点   B、可能有两个零点  C、有且只有一个零点  D、一个或两个零点

4、已知二次函数 有两个相异零点 ，且函数 满足 ，则

5、二次函数 若 则 （   ），

    A、   B、   C、 　D、　

五、课堂小结：请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些。

六、作业：

书面作业：   1、教材P92第2题    2、求下列函数的零点：

（1） ；（2） ；（3）

3、若方程 在（0，1）内恰有一解，求 的取值范围  

预习作业：预习二次函数的零点及根的分布

七、教后记：