3.1.1 方程的根与函数的零点公开课教案

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：理解函数零点的性质，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解零点与方程根的关系.

过程与方法：通过体验函数零点概念的形成过程提高数学的综合运用能力.

情感、态度与价值观:通过函数零点根的联系，体会事物间朴素变化的辩证思想.   

        学生已经学习了函数的图象和性质，会画简单函数的图象，会通过图象研究函数的性质，这为学生理解函数的零点提供了帮助.学生具备的初步的数形结合思想有助于直观理解函数零点的存在性.因此，从认知规律上讲，从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，有利于学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.

       学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如超越函数），对于一元二次方程以外的方程很陌生.我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系是学生学习的难点.加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂.因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验函数与方程的内在联系.

教学重点：函数零点的概念，方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根.

教学难点：零点存在性定理的理解；零点的确定.

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的 根及其相应的二次函数的图象：

①方程 与函数

②方程 与函数

③方程 与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

1、给出函数零点的概念：

（板书）对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

（板书）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

师：引导学生仔细体会零点意义这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索求函数 的零点的方法：

①代数法.求方程 的实数根；

②几何法．对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数 的零点：

（１ ）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴 有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

① 在区间 上有零点___，科. ____， ___, __0（＜或＞＝）．

② 在区间 上有零点______； · ____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

① 在区间 上______ (有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上______(有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

③ 在区间 上______(有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

零点的存在性定理：如果函数 在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ·f(b) <0,那么,函数 在区间(a,b)内有零点,即存在        ,使得f(c)=0,这 个 c 也 就 是 方 程        的根。

  怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存 在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引 导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1、求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数.

问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题

请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想有哪些；

 P102页练习第二题的（3）、（4）小题.

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的 根及其相应的二次函数的图象：

①方程 与函数

②方程 与函数

③方程 与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

1、给出函数零点的概念：

（板书）对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．

函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

（板书）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

师：引导学生仔细体会零点意义这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索求函数 的零点的方法：

①代数法.求方程 的实数根；

②几何法．对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数 的零点：

（１ ）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴 有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数 的图象：

① 在区间 上有零点___，科. ____， ___, __0（＜或＞＝）．

② 在区间 上有零点______； · ____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数 的图象

① 在区间 上______ (有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

② 在区间 上______(有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

③ 在区间 上______(有/无)零点； · _____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

零点的存在性定理：如果函数 在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ·f(b) <0,那么,函数 在区间(a,b)内有零点,即存在        ,使得f(c)=0,这 个 c 也 就 是 方 程        的根。

  怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存 在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引 导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1、求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数.

问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题

请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想有哪些；

 P102页练习第二题的（3）、（4）小题.