21.1 一元二次方程ppt教学设计及点评

地区： 河南省 - 巩义市 -

学校：巩义市涉村镇初级中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

1．应用分解因式法解一些一元二次方程．

2．体会“降次”化归的思想，能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

在学生运用配方法和公式法解一元二次方程的基础上，学生初步掌握了解一元二次方程的方法，但对分解因式法解一元二次方程没有认识，也不会应用解决问题。

重点：应用分解因式法解一元二次方程．

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.

关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．

复习引入

解下列方程．

    （1）2x2+x=0（用配方法）  （2）3x2+6x=0（用公式法）

    老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ）2，同时减去（ ）2．（2）直接用公式求解．

【设计意图】

复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

探索新知

【问题】

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？

（1）上面两个方程中有没有常数项？

    （2）等式左边的各项有没有共同因式？

【活动方略】

　　在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。　

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

    因此，上面两个方程都可以写成：

    （1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0

    因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- ．

    （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

    因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

【设计意图】

引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．

【探究】

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

【活动方略】

学生活动：

四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）经过整理得到 ，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右边分解因式后变为 ，然后整体移项得到 ，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；

方程（4）把方程右边移到左边 ，利用平方差公式分解即可．

教师活动：

在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：

（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．

【设计意图】

主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．

【应用】

例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为

．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？

【活动方略】

学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流

教师活动：

在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．

【设计意图】

应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．

反馈练习

   教材P14　练习第1、2题

补充练习

    解下列方程．

    1．12（2-x）2-9=0      2．x2+x（x-5）=0

　　【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

拓展提高

 　例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

    （1）x2-3x-4=0    （2）x2-7x+6=0   （3）x2+4x-5=0

    分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．

    解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）

    ∴（x-4）（x+1）=0

    ∴x-4=0或x+1=0

    ∴x1=4，x2=-1

    （2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）

    ∴（x-6）（x-1）=0

    ∴x-6=0或x-1=0

    ∴x1=6，x2=1

    （3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）

    ∴（x+5）（x-1）=0

    ∴x+5=0或x-1=0

    ∴x1=-5，x2=1

    上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

例2．已知9a2-4b2=0，求代数式 的值．

    分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

    解：原式=

    ∵9a2-4b2=0    ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=- b或a= b

    当a=- b时，原式=- =3

    当a= b时，原式=-3．

例3：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

    分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

    解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

    ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

   　　　　 a<-2

    ∵ax+3>0即ax>-3

  　　  ∴x<-

    ∴所求不等式的解集为x<-

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．

小结作业

1．问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？

本节课应掌握：

    （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

    （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

    ②公式法是由配方法推导而得到．

    ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

    ②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。

2.作业：课本P14  习题21.2 　 第6、8、10题

  　【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

复习引入

解下列方程．

    （1）2x2+x=0（用配方法）  （2）3x2+6x=0（用公式法）

    老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ）2，同时减去（ ）2．（2）直接用公式求解．

【设计意图】

复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

探索新知

【问题】

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？

（1）上面两个方程中有没有常数项？

    （2）等式左边的各项有没有共同因式？

【活动方略】

　　在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。　

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

    因此，上面两个方程都可以写成：

    （1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0

    因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- ．

    （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

    因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

【设计意图】

引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．

【探究】

通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ．

【活动方略】

学生活动：

四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．

对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）经过整理得到 ，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右边分解因式后变为 ，然后整体移项得到 ，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；

方程（4）把方程右边移到左边 ，利用平方差公式分解即可．

教师活动：

在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．

在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：

（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．

【设计意图】

主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．

【应用】

例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为

．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？

【活动方略】

学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流

教师活动：

在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．

【设计意图】

应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．

反馈练习

   教材P14　练习第1、2题

补充练习

    解下列方程．

    1．12（2-x）2-9=0      2．x2+x（x-5）=0

　　【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

拓展提高

 　例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

    （1）x2-3x-4=0    （2）x2-7x+6=0   （3）x2+4x-5=0

    分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．

    解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）

    ∴（x-4）（x+1）=0

    ∴x-4=0或x+1=0

    ∴x1=4，x2=-1

    （2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）

    ∴（x-6）（x-1）=0

    ∴x-6=0或x-1=0

    ∴x1=6，x2=1

    （3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）

    ∴（x+5）（x-1）=0

    ∴x+5=0或x-1=0

    ∴x1=-5，x2=1

    上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

例2．已知9a2-4b2=0，求代数式 的值．

    分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

    解：原式=

    ∵9a2-4b2=0    ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=- b或a= b

    当a=- b时，原式=- =3

    当a= b时，原式=-3．

例3：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

    分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

    解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

    ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

   　　　　 a<-2

    ∵ax+3>0即ax>-3

  　　  ∴x<-

    ∴所求不等式的解集为x<-

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．

小结作业

1．问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？

本节课应掌握：

    （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

    （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

    ②公式法是由配方法推导而得到．

    ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

    ②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。

2.作业：课本P14  习题21.2 　 第6、8、10题

  　【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。