1.2.1 函数的概念教学创新设计

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

（4）掌握函数相等的概念；掌握函数定义域的求法；

学生在初中已学习一次函数、正、反比例函数以及二次函数的基础之上，来学习一般函数的概念是顺理成章的，但学生的抽象思维还有待进一步的提高，所以在教学的过程中多举实例让学生体会概念的形成过程。

重点：函数的概念

难点：用集合与映射的观点来认识函数的概念。

☆温故知新☆

回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

☆激趣导入☆

讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

路程与时间这两个变量，速度与时间，速度与路程等；它们之间一个量发生变化，另外一个量也随之发生变化.

我们今天就来学习: 1.2.1  函数的概念（一）

☆自学题纲☆

1．自学教材必修一P15-16的三个实例并讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

思考1：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

思考2：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域分别是什么？

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

      （2）二次函数  (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域 ；当a﹤0时，值域 。

      （3）反比例函数 的定义域是 ，值域是 。

2．自学教材必修一P17并回答完成试一试2.

设a、b是两个实数，且a<b，则：

满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足 的实数x的集合分别表示为 。

试一试2.用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

答案：（-∞，+ ∞ ）;[1，+ ∞ ）;（5，+ ∞ ）;（-∞，-1];（-∞，0）

3.自学教材必修一P18例2回答判断函数相等的方法是什么？并完成试一试3见教案

函数是否为同一个函数，主要看 定义域 和  解析式 是否相同.

4.自学教材必修一P17例1回答如何求函数的定义域？并完成试一试4.

求函数的定域方法:  

（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R；

（2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分母不等于0的实数的集合；

（3）二次根式时，则函数定义域是使根号内的式子大于等于0的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.

（二）知识运用与解题研究（具体内容祥见教案

类型一  求函数值与解析式

类型二  求函数的定义域

类型三  判断两个函数是否为同一函数

类型四  求函数的值域

（二）知识运用与解题研究

类型一  求函数值与解析式

【例1】已知函数 ，

求 的值；
当a>0时，求 的值。

解：（1）  ；

（2） .

【变式】已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)).

答案:f(-2)=6； f(-a)=a2+2；f(a+1)=a2+2a+3 ；f(f(x))=x4+4x2+6

【例2】已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)．

A．f(x)＝3x＋2  B．f(x)＝3x＋1

[学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] C．f(x)＝3x－ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 1  D．f(x)＝3x＋4

解析　令x＋1＝t，则x＝t－1，

∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，

∴f(x)＝3x－1.

答案　C

【变式】若f(2x)＝4x2＋1，则f(x)的解析式为________．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

解析　f(2 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] x)＝4x2＋1＝(2x)2＋1，∴f(x)＝x2＋1.

答案　f(x)＝x2＋1

类型二  求函数的定义域

【例3】求下列函数的定义域：

（1）         （2）

答案:（1） ；（2） ；

【例4】(1)若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     .

(2)若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     的定义域为 .

归纳：

1.已知 的定义域，求 的定义域

思路：设函数 的定义域为D，即 ，所以 的作用范围为D，又f对 作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，E为 的定义域.

2. 已知 的定义域，求 的定义域

思路：设 的定义域为D，即 ，由此得 ，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以 为 的定义域.

【变式】(1) 若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:    ∴ 的定义域为 .

(2) 若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     ，∴ ，

∴ 的定义域 .

类型三  判断两个函数是否为同一函数

【例5】下列函数 表示同一函数的是（      ）

A．              B．

C．         D．

答案:D.

【变式】与y＝|x|为相等函数的是(　　)．

A．y＝()2                 B．y＝[来源:学科网ZXXK]

C．            D．y＝

解析　对A，定义域不同；对C，定义域不同；对D，值域不同．

答案　B

类型四  求函数的值域

【例6】求下列函数的值域：

(1)       ⑵

答案:（1）[-5，7]；          （2）[-4，  ；

【变式】如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 它对应，则函数的值域为________．[来源:学科网]

解析　由题意知，对a∈A，|a|∈B，

故函数值域为{1,2,3,4}．

答案　{1,2, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 3,4}

☆课堂检测☆

1.下列各组函数是同一个函数的有________.

①f(x)= ,g(x)=x ;②f(x)=x0,g(x)= ;③f(x)= ,g(u)= ;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.

答案：②③④

2． 用区间表示下列集合：

答案：（-∞，4］，（-∞，0）∪（0，4］，（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，4］，（-∞，0）∪（2，+∞）

3． 已知函数f(x)=3x ＋5x－2,求f(3)、f(- )、f(a)、f(a+1)的值；

答案：f（3）=40，f(- )=4-5 ，f(a)= 3a ＋5a－2, f(a+1)= 3a +11a+1

4．已知 ＝ ＋x＋1，则 ＝______；f［ ］＝______．

答案：3+ ，57

5．已知 ，则 =      .

答案：—1

☆课堂小结☆

1.函数的概念；

2.构成函数的三要素；

3.区间的表示方法.

4.两个函数相等.

5.定义域的求法.

☆课后作业☆

必修一P24 习题1.2A组，第1,2,3,4,5,6；

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

☆温故知新☆

回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

☆激趣导入☆

讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

路程与时间这两个变量，速度与时间，速度与路程等；它们之间一个量发生变化，另外一个量也随之发生变化.

我们今天就来学习: 1.2.1  函数的概念（一）

☆自学题纲☆

1．自学教材必修一P15-16的三个实例并讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

思考1：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

思考2：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域分别是什么？

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

      （2）二次函数  (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域 ；当a﹤0时，值域 。

      （3）反比例函数 的定义域是 ，值域是 。

2．自学教材必修一P17并回答完成试一试2.

设a、b是两个实数，且a<b，则：

满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足 的实数x的集合分别表示为 。

试一试2.用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

答案：（-∞，+ ∞ ）;[1，+ ∞ ）;（5，+ ∞ ）;（-∞，-1];（-∞，0）

3.自学教材必修一P18例2回答判断函数相等的方法是什么？并完成试一试3见教案

函数是否为同一个函数，主要看 定义域 和  解析式 是否相同.

4.自学教材必修一P17例1回答如何求函数的定义域？并完成试一试4.

求函数的定域方法:  

（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R；

（2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分母不等于0的实数的集合；

（3）二次根式时，则函数定义域是使根号内的式子大于等于0的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.

（二）知识运用与解题研究（具体内容祥见教案

类型一  求函数值与解析式

类型二  求函数的定义域

类型三  判断两个函数是否为同一函数

类型四  求函数的值域

（二）知识运用与解题研究

类型一  求函数值与解析式

【例1】已知函数 ，

求 的值；
当a>0时，求 的值。

解：（1）  ；

（2） .

【变式】已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)).

答案:f(-2)=6； f(-a)=a2+2；f(a+1)=a2+2a+3 ；f(f(x))=x4+4x2+6

【例2】已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)．

A．f(x)＝3x＋2  B．f(x)＝3x＋1

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解析　令x＋1＝t，则x＝t－1，

∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，

∴f(x)＝3x－1.

答案　C

【变式】若f(2x)＝4x2＋1，则f(x)的解析式为________．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

解析　f(2 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] x)＝4x2＋1＝(2x)2＋1，∴f(x)＝x2＋1.

答案　f(x)＝x2＋1

类型二  求函数的定义域

【例3】求下列函数的定义域：

（1）         （2）

答案:（1） ；（2） ；

【例4】(1)若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     .

(2)若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     的定义域为 .

归纳：

1.已知 的定义域，求 的定义域

思路：设函数 的定义域为D，即 ，所以 的作用范围为D，又f对 作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，E为 的定义域.

2. 已知 的定义域，求 的定义域

思路：设 的定义域为D，即 ，由此得 ，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以 为 的定义域.

【变式】(1) 若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:    ∴ 的定义域为 .

(2) 若 的定义域是  求 的定义域.

解：由题意知:     ，∴ ，

∴ 的定义域 .

类型三  判断两个函数是否为同一函数

【例5】下列函数 表示同一函数的是（      ）

A．              B．

C．         D．

答案:D.

【变式】与y＝|x|为相等函数的是(　　)．

A．y＝()2                 B．y＝[来源:学科网ZXXK]

C．            D．y＝

解析　对A，定义域不同；对C，定义域不同；对D，值域不同．

答案　B

类型四  求函数的值域

【例6】求下列函数的值域：

(1)       ⑵

答案:（1）[-5，7]；          （2）[-4，  ；

【变式】如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 它对应，则函数的值域为________．[来源:学科网]

解析　由题意知，对a∈A，|a|∈B，

故函数值域为{1,2,3,4}．

答案　{1,2, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 3,4}

☆课堂检测☆

1.下列各组函数是同一个函数的有________.

①f(x)= ,g(x)=x ;②f(x)=x0,g(x)= ;③f(x)= ,g(u)= ;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.

答案：②③④

2． 用区间表示下列集合：

答案：（-∞，4］，（-∞，0）∪（0，4］，（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，4］，（-∞，0）∪（2，+∞）

3． 已知函数f(x)=3x ＋5x－2,求f(3)、f(- )、f(a)、f(a+1)的值；

答案：f（3）=40，f(- )=4-5 ，f(a)= 3a ＋5a－2, f(a+1)= 3a +11a+1

4．已知 ＝ ＋x＋1，则 ＝______；f［ ］＝______．

答案：3+ ，57

5．已知 ，则 =      .

答案：—1

☆课堂小结☆

1.函数的概念；

2.构成函数的三要素；

3.区间的表示方法.

4.两个函数相等.

5.定义域的求法.

☆课后作业☆

必修一P24 习题1.2A组，第1,2,3,4,5,6；