3.1.1 方程的根与函数的零点教案2

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念以及函数零点与方程的根之间的联系，从中渗透由具体到抽象思想,符合学生对知识的认识规律。

2．通过以一般函数为例，分别从几何直观和代数角度来分析函数与方程的联系，采用数与型结合的办法来使学生掌握函数零点存在性的判断．

3．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，发现解方程 就是求函数与x轴交点的横坐标，得到函数零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定。

重点 ：零点的概念及存在性的判定，重在数形结合的几何方法。

难点 ：零点个数的确定。

问题1：判断方程x2－2x－3＝0  有几个实数根？方程 3x5＋6x-1=0, lnx+2x-6=0你还能判断它们分别有几个实根吗？

设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）（一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但一般高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——几何直观（函数图像）来解决这个方程的问题。）

问题2：作出二次函数：y= x2－2x－3；y＝x2－2x＋1 ；y＝x2－2x＋3的图像，并观察函数图像与X轴交点的个数与其相应的一元二次方程x2－2x－3＝0， x2－2x＋1=0，x2－2x＋3＝0的根的个数的关系。

[师生互动]

   问题2.1： 以二次函数y= x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0为例，它们在代数形式上有什么联系？

   问题2.2： 二次函数y= x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0在图像上有什么联系？

填表：

函数

函数与轴的交点

与函数相应方程的根

师：零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。

练习:求下列函数的零点.

师：概括总结问题2.1和2.2前两个结论（请学生总结）

概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
代数角度:函数y=f(x)有几个零点-------方程f(x)=0有几个根

几何角度：函数y=f(x)有几个零点-----函数y=f(x)与轴有几个交点

总结：

方程f（x）＝0有实数根 函数y＝f（x）的图象与x轴有交点 函数y＝f（x）有零点

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数在代数、几何两个角度来建立联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，理解零点是连接函数与方程的结点，方程就可以看成函数的局部性质。本节采用从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，也给学生考虑一般函数提供了一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力。

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。  

师:

   观察下面函数y=f（x）的图象特点并填空（如图2）。

图2

 (1)、在区间[a，b]上______(有/无)零点, f（a）·f（b）_____0；（＜或＞）

（2）、在区间[b，c]上______(有/无)零点，f（b）·f（c）_____0；（＜或＞）

（3）、在区间[c，d]上______(有/无)零点，f（c）·f（d）_____0；（＜或＞）

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论

问题3.1：若函数f(x)的图象在区间(a,b)穿过x轴这是几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？

问题3.2：如果函数f(x)的图象与x轴的交点为（x1，0），那么函数f(x)分别在区间（a，x1）和区间（x1，b）上的值各有什么特点？这对我们用代数形式进行描述有何帮助？

一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

探究1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?

探究2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？若是只有一个零点必须满足什么条件？

探究3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

例2．求函数 的零点个数．问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

1、求证：方程5x2－7x－1=0的一个根在区间（－1，0）上,另一个根在区间（1，2）上。

2、你能用几种方法求下列函数的零点个数?

①f（x）= x2＋2x－6；②f（x）= 2x＋2x－6 ；③f（x）= lg0.5x＋2x－3

师：让学生体会到方程和函数图像之间的联系，认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用。

课堂总结

知识内容总结：

（1）函数零点概念。

（2）函数零点存在的判定定理

思想方法总结：

(1)采用由特殊到一般，再由一般到特殊研究问题的方法。

(2)体现数形结合思想，分别从代数和几何角度分析问题。

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

问题1：判断方程x2－2x－3＝0  有几个实数根？方程 3x5＋6x-1=0, lnx+2x-6=0你还能判断它们分别有几个实根吗？

设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）（一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但一般高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——几何直观（函数图像）来解决这个方程的问题。）

问题2：作出二次函数：y= x2－2x－3；y＝x2－2x＋1 ；y＝x2－2x＋3的图像，并观察函数图像与X轴交点的个数与其相应的一元二次方程x2－2x－3＝0， x2－2x＋1=0，x2－2x＋3＝0的根的个数的关系。

[师生互动]

   问题2.1： 以二次函数y= x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0为例，它们在代数形式上有什么联系？

   问题2.2： 二次函数y= x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0在图像上有什么联系？

填表：

函数

函数与轴的交点

与函数相应方程的根

师：零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。

练习:求下列函数的零点.

师：概括总结问题2.1和2.2前两个结论（请学生总结）

概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
代数角度:函数y=f(x)有几个零点-------方程f(x)=0有几个根

几何角度：函数y=f(x)有几个零点-----函数y=f(x)与轴有几个交点

总结：

方程f（x）＝0有实数根 函数y＝f（x）的图象与x轴有交点 函数y＝f（x）有零点

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数在代数、几何两个角度来建立联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，理解零点是连接函数与方程的结点，方程就可以看成函数的局部性质。本节采用从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，也给学生考虑一般函数提供了一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力。

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。  

师:

   观察下面函数y=f（x）的图象特点并填空（如图2）。

图2

 (1)、在区间[a，b]上______(有/无)零点, f（a）·f（b）_____0；（＜或＞）

（2）、在区间[b，c]上______(有/无)零点，f（b）·f（c）_____0；（＜或＞）

（3）、在区间[c，d]上______(有/无)零点，f（c）·f（d）_____0；（＜或＞）

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论

问题3.1：若函数f(x)的图象在区间(a,b)穿过x轴这是几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？

问题3.2：如果函数f(x)的图象与x轴的交点为（x1，0），那么函数f(x)分别在区间（a，x1）和区间（x1，b）上的值各有什么特点？这对我们用代数形式进行描述有何帮助？

一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

探究1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?

探究2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？若是只有一个零点必须满足什么条件？

探究3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

例2．求函数 的零点个数．问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

1、求证：方程5x2－7x－1=0的一个根在区间（－1，0）上,另一个根在区间（1，2）上。

2、你能用几种方法求下列函数的零点个数?

①f（x）= x2＋2x－6；②f（x）= 2x＋2x－6 ；③f（x）= lg0.5x＋2x－3

师：让学生体会到方程和函数图像之间的联系，认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用。

课堂总结

知识内容总结：

（1）函数零点概念。

（2）函数零点存在的判定定理

思想方法总结：

(1)采用由特殊到一般，再由一般到特殊研究问题的方法。

(2)体现数形结合思想，分别从代数和几何角度分析问题。