14.3因式分解（通用）教案及板书设计

地区： 河南省 - 新乡市 -

学校：新乡市第三十一中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

        因为我们班的学生大多数来自农村的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。

1.了解因式公解、公因式的概念．

2.会用提公因式法分解因式．

3.了解因式分解与整式乘法的关系．

4.在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

会用提公因式法分解因式．

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

（1）x²+x=_______

（2）x²-1=_______

      追问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题（1）（2）的结果吗？

      追问2：在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。你认为因式分解与整式乘法有什么关系？

       师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

       设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法是互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫。

因式分解：
       在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几
个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

(1)  a(b+c)=ab+ac

(2) x³+2x²-3=x²(x+2)-3

(3) a²-b²=(a+b)(a-b)

       设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念。

 
你能试着将多项式pa+pb+pc 因式分解吗？
（1）这个多项式有什么特点？
（2）你能将这个多项式因式分解吗？

（3）因式分解的依据是什么？
（4）分解后的各因式与原多项式有何关系？

        师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过程。在回答（1）后，学生能发现这多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式，在得出pa+pb+pc =p(a+b+c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项的公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。教师指出：这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

       设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式简洁的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提取公因式法分解因式。

 例1　把8a³b²+12ab³c分解因式．
      分析：找8a³b²与12ab³c的公因式的程序是：先要看系数，8与12的最大公约数；再找两项字母部分，它们都含有相同字母a和b的最低次项，进而选定8a³b²与12ab³c的公因式——4ab²

        追问1：如果提出分因式4a，得出8a³b²与12ab³c=4a(2a²b²+3b³c)，那么，另一个因式2a²b²+3b³c否还有公因式？

      追问2：如果提出分因式4a或4ab，那么，另一个因式是否还有公因式？

      追问3：在利用提取公因式法因式分解时应注意什么？

      师生活动：教师提出问题，学生独立思考，互动交流，最后达成共识：用提取公因式法分解因式时，最后一定要满足条件——各因式中再无公因式。

      设计意图：通过例题的教学，引导学生：（1）了解提取公因式分解因式的基本程序和步骤；（2）积累找公因式的经验——找出公式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（3）知道提取公因式法就是把多项式分解成两全因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是四多项式除以公因式得到的；（4）用提取公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

解：8a³b²+12ab³c

   =4ab²(2a+3bc)

       师生活动：学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流。

       设计意图：此例题的公因式是（b+c），通过此例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质的认识。

(b+c)-3(b+c)

分析：此题的公因式是（b+c）

      (1)  ax+ay    (2)  3mx-6my     (3) 8m²n+2mn  

      (4) 12xyz--9x²y²      (5)  2a(y-z)-3b(z-y)      (6) p(a²+b²)-q(a²+b²)

       师生活动：三名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后学生互相交流。

       设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验。此组题中，前4题的公因式为单项式，后两题的公因式是多项式，在后两题中，一个为直接提公因式，一个需要变形后再提公因式。

   4a²(x+7)-3(x+7) ，其中a=-5，x=3

       师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价。

        设计意图：使学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，提高对公因式的认识——公因式可以是单项式、也可以数或多项式，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值。

        教师与 学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

        （1）本节课学习了哪些主要内容？

        （2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？

        （3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？

        设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化。

        教科书习题14.3第一题，第4题（1）

     1、下列变形中是因式分解的是（     ）  

         （A）x(x+1)=x²+x                  (B)  x²-2x+1=(x²+1)

           (C)  x²+xy-3=x(x+y)-3          (D)  x²+6x+4=(x+3)²-5

        设计意图：考查学生对因式分解要领的理解

      2、分解因式：

         （1）14a³b-21a²b²c           (2)  2m(m+n)+6n(m+n)

          设计意图：考查学生对运用提公因式法进行因式分解的掌握。

      3、已知x-y=3，x=y=7，求x(x-y)-y(y-x)的值。

          设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解，并进行代数运算的掌握。

14.3　因式分解

14.3　因式分解

1.了解因式公解、公因式的概念．

2.会用提公因式法分解因式．

3.了解因式分解与整式乘法的关系．

4.在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

会用提公因式法分解因式．

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

（1）x²+x=_______

（2）x²-1=_______

      追问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题（1）（2）的结果吗？

      追问2：在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。你认为因式分解与整式乘法有什么关系？

       师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

       设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法是互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫。

因式分解：
       在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几
个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

因式分解与整式乘法是互逆变形关系。

(1)  a(b+c)=ab+ac

(2) x³+2x²-3=x²(x+2)-3

(3) a²-b²=(a+b)(a-b)

       设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念。

 
你能试着将多项式pa+pb+pc 因式分解吗？
（1）这个多项式有什么特点？
（2）你能将这个多项式因式分解吗？

（3）因式分解的依据是什么？
（4）分解后的各因式与原多项式有何关系？

        师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后学生代表展示求解过程。在回答（1）后，学生能发现这多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式，在得出pa+pb+pc =p(a+b+c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项的公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。教师指出：这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

       设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式简洁的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提取公因式法分解因式。

 例1　把8a³b²+12ab³c分解因式．
      分析：找8a³b²与12ab³c的公因式的程序是：先要看系数，8与12的最大公约数；再找两项字母部分，它们都含有相同字母a和b的最低次项，进而选定8a³b²与12ab³c的公因式——4ab²

        追问1：如果提出分因式4a，得出8a³b²与12ab³c=4a(2a²b²+3b³c)，那么，另一个因式2a²b²+3b³c否还有公因式？

      追问2：如果提出分因式4a或4ab，那么，另一个因式是否还有公因式？

      追问3：在利用提取公因式法因式分解时应注意什么？

      师生活动：教师提出问题，学生独立思考，互动交流，最后达成共识：用提取公因式法分解因式时，最后一定要满足条件——各因式中再无公因式。

      设计意图：通过例题的教学，引导学生：（1）了解提取公因式分解因式的基本程序和步骤；（2）积累找公因式的经验——找出公式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（3）知道提取公因式法就是把多项式分解成两全因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是四多项式除以公因式得到的；（4）用提取公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

解：8a³b²+12ab³c

   =4ab²(2a+3bc)

       师生活动：学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流。

       设计意图：此例题的公因式是（b+c），通过此例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质的认识。

(b+c)-3(b+c)

分析：此题的公因式是（b+c）

      (1)  ax+ay    (2)  3mx-6my     (3) 8m²n+2mn  

      (4) 12xyz--9x²y²      (5)  2a(y-z)-3b(z-y)      (6) p(a²+b²)-q(a²+b²)

       师生活动：三名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后学生互相交流。

       设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验。此组题中，前4题的公因式为单项式，后两题的公因式是多项式，在后两题中，一个为直接提公因式，一个需要变形后再提公因式。

   4a²(x+7)-3(x+7) ，其中a=-5，x=3

       师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价。

        设计意图：使学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，提高对公因式的认识——公因式可以是单项式、也可以数或多项式，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值。

        教师与 学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

        （1）本节课学习了哪些主要内容？

        （2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？

        （3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？

        设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化。

        教科书习题14.3第一题，第4题（1）

     1、下列变形中是因式分解的是（     ）  

         （A）x(x+1)=x²+x                  (B)  x²-2x+1=(x²+1)

           (C)  x²+xy-3=x(x+y)-3          (D)  x²+6x+4=(x+3)²-5

        设计意图：考查学生对因式分解要领的理解

      2、分解因式：

         （1）14a³b-21a²b²c           (2)  2m(m+n)+6n(m+n)

          设计意图：考查学生对运用提公因式法进行因式分解的掌握。

      3、已知x-y=3，x=y=7，求x(x-y)-y(y-x)的值。

          设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解，并进行代数运算的掌握。