2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案2

2.2.3　向量数乘运算及其… 高中数学       人教A版2003课标版

1．掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义；

2．掌握向量数乘的运算律；

3．理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线的条件判定两向量是否平行．

       学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式

上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师

生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。

只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能

很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上

升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强

学生的课堂练习。

教学重点：

1.向量数乘的定义及几何意义；

2.向量数乘的运算律；

3.两个向量共线的等价条件及其运用.

教学难点：

对向量共线的等价条件的理解以及运用。

  1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究向量的另外一种运算.首先我们来回顾一下向量加法的三角形法则、平行四边形法则和向量的减法法则.

  2. 向量数乘问题的实际背景    由此展开新课.

       一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a ,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？那么在相反方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是-3a 吗？怎样用图形表示？

学生活动：独立思考.

教师活动：提问、引导学生作答.

设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过牛顿第二定律和位移的实际背景引入新课.

推进新课

    探究：①已知非零向量a ,试一试作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ).

②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?

学生活动：独立观察、思考、总结.

教师活动：提问、引导学生.

设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫.

问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？

从而推广到一般的向量数乘的定义.

我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下:

(1)|λa |=|λ||a |;

(2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa =0 ​.

问题2：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？

归纳总结：实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数,那么

(1)λ(μa )=(λμ)a ;

(2)(λ+μ)a =λa +μa ;

(3)λ(a +b)=λa +λb .

问题3：你能解释上述运算律的几何意义吗？

特别的：(-λ)a =-(λa )=λ(-a ),λ(a -b)=λa -λb ​.

问题4：思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？

师生活动：通过类比得到向量数乘运算律，并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.

例题讲解：

例1 计算:

(1)(-3)×4a ;

(2)3(a +b )-2(a -b )-a ;

(3)(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).

变式训练

       课本P90 第5题

学生活动：学生板演和学生单独作答有机结合.

教师活动：提问、及时评价.

设计意图：通过例1及及变式训练，加深学生对向量数乘运算律的理解.

本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。

归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b

向量共线定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa.即：b∥a(a≠0) ó b=λa

问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

师生活动：（分析总结）

对于向量a (a ≠0 )、b ,如果有一个实数λ,使b =λa ,那么由向量数乘的定义,知a 与b 共线.反过来,已知向量a 与b 共线,a ≠0 ,且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍,即|b |=μ|a |,那么当a 与b 同方向时,有b =μa ;当a 与b 反方向时,有b =-μa .

从上述两方面可知

归纳总结：向量共线定理：如果a (a ≠0 )与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b =λa .

问题6：①a 为什么要是非零向量？

            ②b 可以是零向量吗？

            ③怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？

学生活动：合作交流，独立作答.

教师活动：提问、引导、及时评价.

设计意图：师生共同活动引出向量共线定理，通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力。

例题讲解

    例2 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA=a +b ,OB =a +2b ,OC  =a +3b .你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

    分析:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.

    例3 如图4,平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD  =b ,你能用a 、b 表示MA 、MB 、MC  和MD  吗?

   分析:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.

        1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.

        2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.

1.计算
（1）（－3）×4a；                 （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.

2.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P为平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O。Q是CD的中点，求下列各式中的x，y的值

（1）向量OQ=向量PQ+x向量PC+y向量PA

（2）向量PA=x向量PO+y向量PQ+向量PD

课本91页：习题2.2A组第9题，第10题。

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

  1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究向量的另外一种运算.首先我们来回顾一下向量加法的三角形法则、平行四边形法则和向量的减法法则.

  2. 向量数乘问题的实际背景    由此展开新课.

       一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a ,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？那么在相反方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是-3a 吗？怎样用图形表示？

学生活动：独立思考.

教师活动：提问、引导学生作答.

设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过牛顿第二定律和位移的实际背景引入新课.

推进新课

    探究：①已知非零向量a ,试一试作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ).

②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?

学生活动：独立观察、思考、总结.

教师活动：提问、引导学生.

设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫.

问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？

从而推广到一般的向量数乘的定义.

我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下:

(1)|λa |=|λ||a |;

(2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa =0 ​.

问题2：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？

归纳总结：实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数,那么

(1)λ(μa )=(λμ)a ;

(2)(λ+μ)a =λa +μa ;

(3)λ(a +b)=λa +λb .

问题3：你能解释上述运算律的几何意义吗？

特别的：(-λ)a =-(λa )=λ(-a ),λ(a -b)=λa -λb ​.

问题4：思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？

师生活动：通过类比得到向量数乘运算律，并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.

例题讲解：

例1 计算:

(1)(-3)×4a ;

(2)3(a +b )-2(a -b )-a ;

(3)(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).

变式训练

       课本P90 第5题

学生活动：学生板演和学生单独作答有机结合.

教师活动：提问、及时评价.

设计意图：通过例1及及变式训练，加深学生对向量数乘运算律的理解.

本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。

归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b

向量共线定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa.即：b∥a(a≠0) ó b=λa

问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

师生活动：（分析总结）

对于向量a (a ≠0 )、b ,如果有一个实数λ,使b =λa ,那么由向量数乘的定义,知a 与b 共线.反过来,已知向量a 与b 共线,a ≠0 ,且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍,即|b |=μ|a |,那么当a 与b 同方向时,有b =μa ;当a 与b 反方向时,有b =-μa .

从上述两方面可知

归纳总结：向量共线定理：如果a (a ≠0 )与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b =λa .

问题6：①a 为什么要是非零向量？

            ②b 可以是零向量吗？

            ③怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？

学生活动：合作交流，独立作答.

教师活动：提问、引导、及时评价.

设计意图：师生共同活动引出向量共线定理，通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力。

例题讲解

    例2 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA=a +b ,OB =a +2b ,OC  =a +3b .你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

    分析:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.

    例3 如图4,平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD  =b ,你能用a 、b 表示MA 、MB 、MC  和MD  吗?

   分析:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.

        1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.

        2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.

1.计算
（1）（－3）×4a；                 （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.

2.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P为平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O。Q是CD的中点，求下列各式中的x，y的值

（1）向量OQ=向量PQ+x向量PC+y向量PA

（2）向量PA=x向量PO+y向量PQ+向量PD

课本91页：习题2.2A组第9题，第10题。