2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课时教案

2.3.1 向量数量积的物理背… 高中数学       人教B版2003课标版

（一）知识目标：

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。

 （二）能力目标：

通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。

   （三）情感目标

通过学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,培养学生思考问题认真严谨的学习态。

学生有一定的学习基础，在物理上力学中有过接触。

教学重点：平面向量数量积的含义

教学难点：对平面向量数量积的含义的理解；

（一）复习引入

  教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子：物理学家很早就知道,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: 

                                                  F

                    F    S                            S

       (图1)                              (图2 )

(图1)中力所做的功W= ，(图2)中力所做的功 ，在物理中功是一个标量，是由F和S这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F和S这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”.

（二）合作探究

   结合物理学中功大小的定义 和前面我们说的把功看成是 和 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把 和 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义．

1、数量积的定义：

已知两个非零向量 和 ，把数量 叫做 与 数量积（或内积），记作 （注意：两个向量的运算符号是用“ ”表示的，且不能省略），用数学符号表示即 ,（  .

规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即 。

2、接下来，请同学们思考一个问题：

根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

我们前面已经提到两个向量的夹角在 ，根据余弦函数的知识我们可以知道:

当 时， ， ；

当 时， ， .

当 ;

3、正投影的概念

是由 的引出来的，而 是 所做的功， 是 在 方向上的分力，那么在数量积中 叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“正投影” ：

cosθ（ cosθ）叫做向量 在 方向上( 在 方向上）的正投影.

4、根据正投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：

数量积 等于 的长度与 在 方向上的正投影 的乘积

5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。

6、探究数量积的性质

 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:

;

，  与 同向，  ；

，  与 反向，  ；

我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?                                                        

根据定义 ．由此我们就可以得出 的值.当 时, ．

总结 .

特别地，

以上这些都是数量积的性质，在课堂上以小组探究形式让同学们积极思考。

（三）例题讲解，巩固知识

例1．例1.已知轴

（1）向量︱OA︱=5, ＜OA, ＞=60°,求OA在 上的正射影的数量 ;

（2）向量︱OB︱=5, ＜OB,  ＞=120°,求OB在 上的正射影的数量

 (3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a,  b>=60°,则向量a在向量b上的正射影的数量;

例1的设计就是为了巩固正射影的概念以及运算；

例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b.

例2的设计就是为了巩固数量积的概念以及运算；

例3、在平行四边形 中，

已知 , , .

求：（1） ;（2） ;（3） ;

例3的设计就是为了使数量积的概念在三角形的运算背景下得以提高；

（五）课堂小结

本节课你有什么收获？你能把本节课给全面归纳一下吗？

（六）课后作业

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

（一）复习引入

  教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子：物理学家很早就知道,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: 

                                                  F

                    F    S                            S

       (图1)                              (图2 )

(图1)中力所做的功W= ，(图2)中力所做的功 ，在物理中功是一个标量，是由F和S这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F和S这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”.

（二）合作探究

   结合物理学中功大小的定义 和前面我们说的把功看成是 和 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把 和 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义．

1、数量积的定义：

已知两个非零向量 和 ，把数量 叫做 与 数量积（或内积），记作 （注意：两个向量的运算符号是用“ ”表示的，且不能省略），用数学符号表示即 ,（  .

规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即 。

2、接下来，请同学们思考一个问题：

根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

我们前面已经提到两个向量的夹角在 ，根据余弦函数的知识我们可以知道:

当 时， ， ；

当 时， ， .

当 ;

3、正投影的概念

是由 的引出来的，而 是 所做的功， 是 在 方向上的分力，那么在数量积中 叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“正投影” ：

cosθ（ cosθ）叫做向量 在 方向上( 在 方向上）的正投影.

4、根据正投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：

数量积 等于 的长度与 在 方向上的正投影 的乘积

5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。

6、探究数量积的性质

 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:

;

，  与 同向，  ；

，  与 反向，  ；

我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?                                                        

根据定义 ．由此我们就可以得出 的值.当 时, ．

总结 .

特别地，

以上这些都是数量积的性质，在课堂上以小组探究形式让同学们积极思考。

（三）例题讲解，巩固知识

例1．例1.已知轴

（1）向量︱OA︱=5, ＜OA, ＞=60°,求OA在 上的正射影的数量 ;

（2）向量︱OB︱=5, ＜OB,  ＞=120°,求OB在 上的正射影的数量

 (3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a,  b>=60°,则向量a在向量b上的正射影的数量;

例1的设计就是为了巩固正射影的概念以及运算；

例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b.

例2的设计就是为了巩固数量积的概念以及运算；

例3、在平行四边形 中，

已知 , , .

求：（1） ;（2） ;（3） ;

例3的设计就是为了使数量积的概念在三角形的运算背景下得以提高；

（五）课堂小结

本节课你有什么收获？你能把本节课给全面归纳一下吗？

（六）课后作业