3.1.1 两角和与差的余弦ppt配用优秀获奖教案

3.1.1 两角和与差的余弦 高中数学       人教B版2003课标版

1．掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题．

2．能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验．

1．按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展．

2．两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是一个难点．因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线．

3．尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到．教师需要在引导学生仔细观察cos( + ）=cos cos －sin sin 或cos( － ）=cos cos +sin sin 的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理．

五、教学过程设计

(一)提出问题      

问题1：观察诱导公式 ， ， ， ．我们会发现：当角 变成 + 或者 + 时，其正弦、余弦的三角函数值都与角 的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角 变成 或者 + 时，其正弦、余弦与 、 的正弦、余弦又有怎样的联系呢？

 [设计意图]引导学生从联系的角度与变换的角度自然地提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识．不直接提出先研究cos( - )，是为了使探究更真实、更自然；不用教材上的实际问题情境而改为开门见山直奔主题，是为了不让学生在情境的理解上花过多的时间，同时离本节课的主题更近．

(二)探究问题

1．明确探究的思路与步骤

问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？

学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．

[设计意图]引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性．

2．猜想结果

问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？

如果有学生提出sin( + )=sin +sin ，cos( + )=cos +cos ，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的．

[设计意图]让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误．

问题4：对这个问题，老师也曾猜想 ， ,其中 都是常数．但最后发现都不成立．那我们该怎么办呢？

引导学生以退求进，先讨论 、 、 + 都是锐角的情况．

[设计意图]进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思维受阻时如何“拐弯”．

问题5：当 、 、 + 都是锐角时，我们又该怎么办？

引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论．

问题6：怎样用 、 的三角函数来表示sin( + )，cos( + )?

引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到

sin( + )= =sin cos +cos sin ，

cos( + )= =cos cos －sin sin ．

 [设计意图]让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系．

问题7：那上面两个式子是否对任意角 、 都成立呢？

引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证．

3．证明结果

问题8：数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？

[设计意图] 让学生通过观察，联想到 , 终边与单位圆的交点分别为A(cos ,sin ),B(cos ,sin ),同时发现 的右边与向量数量积公式的坐标表示 十分相近，进而联想到 =

．这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程．

问题9：如何证明 ？

[设计意图]引导学生关注两个向量的夹角 与 是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚 ，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

问题10：时间关系，我们把两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式的证明与探究留给大家课外去完成．刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求cos( - )？

[设计意图]引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值．

问题11：两角差的余弦公式有什么特点：

引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和．

(三)巩固应用

例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．

引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．

[巩固练习]求值：

(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°=         ．

(2)cos( +21°)cos( -24°)+sin( +21°)sin( -24°)=         ．

例2 已知 是第三象限角，求cos( - )的值．

[设计说明]如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成．同时在完成例2后提出，如果去掉 这一条件，又该怎么办？

3.1.1 两角和与差的余弦

3.1.1 两角和与差的余弦

五、教学过程设计

(一)提出问题      

问题1：观察诱导公式 ， ， ， ．我们会发现：当角 变成 + 或者 + 时，其正弦、余弦的三角函数值都与角 的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角 变成 或者 + 时，其正弦、余弦与 、 的正弦、余弦又有怎样的联系呢？

 [设计意图]引导学生从联系的角度与变换的角度自然地提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识．不直接提出先研究cos( - )，是为了使探究更真实、更自然；不用教材上的实际问题情境而改为开门见山直奔主题，是为了不让学生在情境的理解上花过多的时间，同时离本节课的主题更近．

(二)探究问题

1．明确探究的思路与步骤

问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？

学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．

[设计意图]引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性．

2．猜想结果

问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？

如果有学生提出sin( + )=sin +sin ，cos( + )=cos +cos ，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的．

[设计意图]让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误．

问题4：对这个问题，老师也曾猜想 ， ,其中 都是常数．但最后发现都不成立．那我们该怎么办呢？

引导学生以退求进，先讨论 、 、 + 都是锐角的情况．

[设计意图]进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思维受阻时如何“拐弯”．

问题5：当 、 、 + 都是锐角时，我们又该怎么办？

引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论．

问题6：怎样用 、 的三角函数来表示sin( + )，cos( + )?

引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到

sin( + )= =sin cos +cos sin ，

cos( + )= =cos cos －sin sin ．

 [设计意图]让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系．

问题7：那上面两个式子是否对任意角 、 都成立呢？

引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证．

3．证明结果

问题8：数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？

[设计意图] 让学生通过观察，联想到 , 终边与单位圆的交点分别为A(cos ,sin ),B(cos ,sin ),同时发现 的右边与向量数量积公式的坐标表示 十分相近，进而联想到 =

．这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程．

问题9：如何证明 ？

[设计意图]引导学生关注两个向量的夹角 与 是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚 ，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

问题10：时间关系，我们把两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式的证明与探究留给大家课外去完成．刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求cos( - )？

[设计意图]引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值．

问题11：两角差的余弦公式有什么特点：

引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和．

(三)巩固应用

例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．

引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．

[巩固练习]求值：

(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°=         ．

(2)cos( +21°)cos( -24°)+sin( +21°)sin( -24°)=         ．

例2 已知 是第三象限角，求cos( - )的值．

[设计说明]如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成．同时在完成例2后提出，如果去掉 这一条件，又该怎么办？