3.1.1 两角差的余弦公式ppt课件教学实录

3.1.1　两角差的余弦公式 高中数学       人教A版2003课标版

1. 知识与技能目标：

(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题；

(2) 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。

2. 过程与方法目标：

(1) 体会公式探求中从特殊到一般的数学思想；

(2) 通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。

3. 情感与态度目标：

(1)使学生经历数学知识的发现、创造过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题、分析问题以及解决问题的激情；

(2)通过公式的推导与简单应用，培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度。

本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生的学生对探索数学的未知世界有主动意识，求知欲较强，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念及图像性质，平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活运用

难点：两角差的余弦公式的探索及证明

（一）创设情境，引入问题

       请同学们思考问题：

       一个斜坡的坡度为45°，高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功W.

     解：W= F·S

               = |F|·|S|·cos(60°-45°)

               =30 cos15°

问题一：在不借助计算器的条件下如何求cos15°的值？我们有什么思路吗？

        师：能不能根据60°和45°的三角函数值来求出cos15°的值呢？这就是我们这节课要研究的问题。更一般来说，我们这节课要研究的问题是：α、β 是任意角，能不能利用 α和β的三角函数值来求出cos(α-β) 的值。

问题二：请大家猜想一下，cos(α-β) =？会不会等于cosα-cosβ ？

       生：不会。

       师：能举个例子吗？

       cos(30°-30°)=cos 0°=1,而cos30°-cos30°=0

问题三：那究竟cos（α-β） =？看下面两条式子：

       cos60°cos30°+sin60°sin30°=cos30°=cos(60°-30°)

       cos120°cos60°+sin120°sin60°=cos60°=cos(60°-30°)

      可以猜想cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（二）探索公式，建构新知

1.数形结合，探索新知

问题一：怎样验证我们的猜想呢？在数学中数形结合思想有时可以帮助解决问题的，那这样三角函数问题能不能用“形”来解决呢？而三角函数的“形”是什么呢？

（1）复习三角函数线

（2）课件展示几何证法（α、β  为锐角）

（3）几何画板演示当 α、β 为任意角时公式也成立：

问题二：几何证法具有一定的局限性，那有没有其他的证明方法呢？请同学们观察一下公式的结构特征，能联想出哪个计算原理吗？

（提示：单位圆的坐标表示以及向量数量积的坐标表示）

2.借助向量，完善新知

第一步：公式的证明过程：

      在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。

      在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为 始边作角 ，它们的终边与单位圆O分别交于A、B两点，则OA=(cosα,sinα ),OB=(cosβ,sinβ)

      先假设 α>β，由向量数量积的坐标表示，有

      设 α与β 的夹角为θ，则

      OA·OB=|OA|·|OB|cosθ=cosθ

问题（课件展示图片）：

（1）两个向量的夹角是哪个？
（2）如何用 α、β 来表示两个向量的夹角？
（3）此时α-β 的取值范围是多少？

问题（1）由学生口答，（2）（3）由教师引导并得出答案：

        另一方面，由课本图3.1-3（1）可知α=2kπ+β+θ，

                          由图3.1-3（2）可知α=2kπ+β-θ，于是α-β=2kπ±θ

        所以                

                                        cos(α-β)=cosθ

        也有

                                cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

         综上所述，得出公式：

对任意的α、β ，

                               cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

 第二步：公式的记忆

让学生自己总结公式的特点，便于记忆。

注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；

        2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

        3.式子中α、β是任意的。

（三）回顾情境，解决问题

一个斜坡的坡度为45°，高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功W.

解：W= F·S

= |F|·|S|·cos(60°-45°)

=30 cos60°cos45°+ sin60°sin45°

（四）例题讲解,巩固新知

例1  利用差角余弦公式求cos15° .

解：

方法一：cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+ sin60°sin45°

方法二：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+ sin45°sin30°

思考：如何求sin75°？

例2  已知sinα=4/5，α∈(π/2,π)，cosβ=-5/13，β是第三象限角，求cos(α-β)的值.

解题思路：

解：由sinα=4/5，α∈(π/2,π) ，得cosα=-3/5，

       又由cosβ=-5/13，β是第三象限角，得sinβ=-12/13，

      所以

                cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-33/65

思考：如果去掉条件中的α∈(π/2,π) ，对题目和结果有没有影响？

（五）理论迁移,反馈练习

练习1  化简求值

（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°

（2）cosxcos(x+15°)+sinxsin(x+15°)

（3）cos32°cos77°-sin32°cos167°

（4）(1/2)cosx+（根号3/2)sinx

（设计意图：此题是对公式的逆用，目的是加强学生对公式的理解与应用。）

课后思考题

已知α、β为锐角，cosα=1/7， cos(α+β)=-11/14，求cosβ的值.

（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把 分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把 看作 ，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把 看做两角差，即 ，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）

（六）课堂小结，布置作业

1．小结：

（1）两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）；

（2）两角差的余弦公式及其特点；

（3）利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。

2.作业

课本P127练习2,3

3.1.1　两角差的余弦公式

3.1.1　两角差的余弦公式

（一）创设情境，引入问题

       请同学们思考问题：

       一个斜坡的坡度为45°，高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功W.

     解：W= F·S

               = |F|·|S|·cos(60°-45°)

               =30 cos15°

问题一：在不借助计算器的条件下如何求cos15°的值？我们有什么思路吗？

        师：能不能根据60°和45°的三角函数值来求出cos15°的值呢？这就是我们这节课要研究的问题。更一般来说，我们这节课要研究的问题是：α、β 是任意角，能不能利用 α和β的三角函数值来求出cos(α-β) 的值。

问题二：请大家猜想一下，cos(α-β) =？会不会等于cosα-cosβ ？

       生：不会。

       师：能举个例子吗？

       cos(30°-30°)=cos 0°=1,而cos30°-cos30°=0

问题三：那究竟cos（α-β） =？看下面两条式子：

       cos60°cos30°+sin60°sin30°=cos30°=cos(60°-30°)

       cos120°cos60°+sin120°sin60°=cos60°=cos(60°-30°)

      可以猜想cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（二）探索公式，建构新知

1.数形结合，探索新知

问题一：怎样验证我们的猜想呢？在数学中数形结合思想有时可以帮助解决问题的，那这样三角函数问题能不能用“形”来解决呢？而三角函数的“形”是什么呢？

（1）复习三角函数线

（2）课件展示几何证法（α、β  为锐角）

（3）几何画板演示当 α、β 为任意角时公式也成立：

问题二：几何证法具有一定的局限性，那有没有其他的证明方法呢？请同学们观察一下公式的结构特征，能联想出哪个计算原理吗？

（提示：单位圆的坐标表示以及向量数量积的坐标表示）

2.借助向量，完善新知

第一步：公式的证明过程：

      在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。

      在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为 始边作角 ，它们的终边与单位圆O分别交于A、B两点，则OA=(cosα,sinα ),OB=(cosβ,sinβ)

      先假设 α>β，由向量数量积的坐标表示，有

      设 α与β 的夹角为θ，则

      OA·OB=|OA|·|OB|cosθ=cosθ

问题（课件展示图片）：

（1）两个向量的夹角是哪个？
（2）如何用 α、β 来表示两个向量的夹角？
（3）此时α-β 的取值范围是多少？

问题（1）由学生口答，（2）（3）由教师引导并得出答案：

        另一方面，由课本图3.1-3（1）可知α=2kπ+β+θ，

                          由图3.1-3（2）可知α=2kπ+β-θ，于是α-β=2kπ±θ

        所以                

                                        cos(α-β)=cosθ

        也有

                                cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

         综上所述，得出公式：

对任意的α、β ，

                               cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

 第二步：公式的记忆

让学生自己总结公式的特点，便于记忆。

注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；

        2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

        3.式子中α、β是任意的。

（三）回顾情境，解决问题

一个斜坡的坡度为45°，高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功W.

解：W= F·S

= |F|·|S|·cos(60°-45°)

=30 cos60°cos45°+ sin60°sin45°

（四）例题讲解,巩固新知

例1  利用差角余弦公式求cos15° .

解：

方法一：cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+ sin60°sin45°

方法二：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+ sin45°sin30°

思考：如何求sin75°？

例2  已知sinα=4/5，α∈(π/2,π)，cosβ=-5/13，β是第三象限角，求cos(α-β)的值.

解题思路：

解：由sinα=4/5，α∈(π/2,π) ，得cosα=-3/5，

       又由cosβ=-5/13，β是第三象限角，得sinβ=-12/13，

      所以

                cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-33/65

思考：如果去掉条件中的α∈(π/2,π) ，对题目和结果有没有影响？

（五）理论迁移,反馈练习

练习1  化简求值

（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°

（2）cosxcos(x+15°)+sinxsin(x+15°)

（3）cos32°cos77°-sin32°cos167°

（4）(1/2)cosx+（根号3/2)sinx

（设计意图：此题是对公式的逆用，目的是加强学生对公式的理解与应用。）

课后思考题

已知α、β为锐角，cosα=1/7， cos(α+β)=-11/14，求cosβ的值.

（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把 分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把 看作 ，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把 看做两角差，即 ，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）

（六）课堂小结，布置作业

1．小结：

（1）两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）；

（2）两角差的余弦公式及其特点；

（3）利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。

2.作业

课本P127练习2,3