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共1课时
3.1.1 方程的根与函数的… 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标 1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点. 2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界. 3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.《函数与方程（1）》教案 侯萍 [教学目标] 了解函数零点的概念，理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系； [教学重点] 1、零点概念及其与方程的关系； 2、对零点存在定理的深入理解及应用 [教学难点]准确理解零点存在定理，能针对具体的函数求出零点的大致区间 [教法学法] 以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台 [教学过程] 1、 创设问题情境，引入新课 问题1： 问题2： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有什么关系？ 填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？ 一元二次方程 二次函数 函数图像 图象与x轴交点 方程的根 师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 问题3：完成表格，并观察一元二次方程 的根与相应二函数 图象与x轴交点的关系？ 方程 的根 函数 的图像 图象与x轴的交点 师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。 2、建构函数零点概念 函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 思考：（1）零点是一个点吗？ （2）怎样理解“零点”概念双向性呢？ (3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格） 师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。 知识的延伸，得出等价关系 (1)方程f(x)=0有实数根 (2)函数y=f(x)有零点 (3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点 师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程 的根即函数 的零点，可以把解方程 的问题转化为函数 图像与x轴的交点问题。 例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ） A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2 练习1： 3、探究发现零点存在性定理 问题： 思考：所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？ 师生互动: 生活实例探究——小马过河 （1）探究1：将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 师生互动: （2）探究2：
条件二：图象是连续不断的一条曲线 （3）发现零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点。 思考1： “连续不断”与“f(a)f(b)﹤0”缺一如何？ 思考2： “有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？ 思考3： 再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？ 思考4： 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )·f( b )<0的结论吗？ 思考5： 定理的作用？判定零点的存在，并找出零点所在的区间。 4、零点存在性定理应用 例2：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0. （ ） （4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足f (a) ·f(b) < 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个零点。（ ） 例3： 分析：从函数零点存在性定理的两个条件考虑。 “f(a)f(b)﹤0”与“连续不断” 例4 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数. 5、练习2、 1：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3） 2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x ,f(x)对应值表： 那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定 6、归纳小结 通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？ 1．函数零点的定义 2．三个等价关系 3. 函数的零点存在性定理 4. 两种思想：函数与方程思想；数形结合思想 布置作业： 必做题: 1、求函数：y=-x2+6x+7的零点 2、方程 的解所在的区间是 （ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 3、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。 3.1.1 方程的根与函数的零点 课时设计 课堂实录3.1.1 方程的根与函数的零点 1第一学时 教学活动 活动1【导入】函数与方程《函数与方程（1）》教案 侯萍 [教学目标] 了解函数零点的概念，理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系； [教学重点] 1、零点概念及其与方程的关系； 2、对零点存在定理的深入理解及应用 [教学难点]准确理解零点存在定理，能针对具体的函数求出零点的大致区间 [教法学法] 以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台 [教学过程] 1、 创设问题情境，引入新课 问题1： 问题2： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有什么关系？ 填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？ 一元二次方程 二次函数 函数图像 图象与x轴交点 方程的根 师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 问题3：完成表格，并观察一元二次方程 的根与相应二函数 图象与x轴交点的关系？ 方程 的根 函数 的图像 图象与x轴的交点 师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。 2、建构函数零点概念 函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 思考：（1）零点是一个点吗？ （2）怎样理解“零点”概念双向性呢？ (3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格） 师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。 知识的延伸，得出等价关系 (1)方程f(x)=0有实数根 (2)函数y=f(x)有零点 (3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点 师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程 的根即函数 的零点，可以把解方程 的问题转化为函数 图像与x轴的交点问题。 例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ） A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2 练习1： 3、探究发现零点存在性定理 问题： 思考：所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？ 师生互动: 生活实例探究——小马过河 （1）探究1：将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 师生互动: （2）探究2：
条件二：图象是连续不断的一条曲线 （3）发现零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点。 思考1： “连续不断”与“f(a)f(b)﹤0”缺一如何？ 思考2： “有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？ 思考3： 再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？ 思考4： 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )·f( b )<0的结论吗？ 思考5： 定理的作用？判定零点的存在，并找出零点所在的区间。 4、零点存在性定理应用 例2：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0. （ ） （4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足f (a) ·f(b) < 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个零点。（ ） 例3： 分析：从函数零点存在性定理的两个条件考虑。 “f(a)f(b)﹤0”与“连续不断” 例4 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数. 5、练习2、 1：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3） 2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x ,f(x)对应值表： 那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定 6、归纳小结 通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？ 1．函数零点的定义 2．三个等价关系 3. 函数的零点存在性定理 4. 两种思想：函数与方程思想；数形结合思想 布置作业： 必做题: 1、求函数：y=-x2+6x+7的零点 2、方程 的解所在的区间是 （ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 3、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。 Tags：3.1.1,方程,函数,零点,优秀
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