1.3.1 单调性与最大（小）值优秀公开课教案

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

学生基础一般，故强调双基教学！

重点：函数的单调性及其几何意义．

难点：利用函数的单调性 定义判断、证明函数的单调性

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y

x

1

-1

1

-1

1 随x的增大，y的值有什么变化？

2 能否看出函数的最大、最小值？

3 函数图象是否具有某种对称性？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：     

（1）f(x) = x

y

x

1

-1

1

-1

         1 从左至右图象上升还是下降 ______?

         2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -x+2

y

x

1

-1

1

-1

         1 从左至右图象上升还是下降 ______?

         2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

         1在区间 ____________ 上，

f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

         2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

3、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这 种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知

1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定 义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

3、从 函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的 某个区间上的性质，是 函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x 1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

4．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

（三）质疑答辩，发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性．

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

    解：略

点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。

变式训练1   函数 在 上的单调性为    （       ）

A.减函数        B.增函数.          C.先增后减.       D.先减后增

例2 物理学中的玻意耳定律P= （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

分析：按题意，只要证明函数P= 在区间（0，+∞）上是减函数即可。

证明：略

点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。

变式训练2   若函数 在 上是增函数，那么  （      ）

A.b>0      B. b<0        C.m>0    D.m<0

例3．16.求证：函数 ，在区间 上是减函数

解：设 则

在区间 上是减函数。

点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

                   ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

                   ② 作差f(x1)－f(x2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

变式训练3.：画出反比例函数 的图象．

         1 这个函数的定义域是什么？

         2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

四、归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

【板书设计】

函数单调性
典型例题

例1：                           例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y

x

1

-1

1

-1

1 随x的增大，y的值有什么变化？

2 能否看出函数的最大、最小值？

3 函数图象是否具有某种对称性？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：     

（1）f(x) = x

y

x

1

-1

1

-1

         1 从左至右图象上升还是下降 ______?

         2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -x+2

y

x

1

-1

1

-1

         1 从左至右图象上升还是下降 ______?

         2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

         1在区间 ____________ 上，

f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

         2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

3、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这 种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知

1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定 义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

3、从 函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的 某个区间上的性质，是 函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x 1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

4．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

（三）质疑答辩，发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性．

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

    解：略

点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。

变式训练1   函数 在 上的单调性为    （       ）

A.减函数        B.增函数.          C.先增后减.       D.先减后增

例2 物理学中的玻意耳定律P= （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

分析：按题意，只要证明函数P= 在区间（0，+∞）上是减函数即可。

证明：略

点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。

变式训练2   若函数 在 上是增函数，那么  （      ）

A.b>0      B. b<0        C.m>0    D.m<0

例3．16.求证：函数 ，在区间 上是减函数

解：设 则

在区间 上是减函数。

点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

                   ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

                   ② 作差f(x1)－f(x2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

变式训练3.：画出反比例函数 的图象．

         1 这个函数的定义域是什么？

         2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

四、归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

【板书设计】

函数单调性
典型例题

例1：                           例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

• 优点:

  总算可以传上了！

• 缺点:

  期待以后出精品！