1.3.1 单调性与最大（小）值教案和课堂实录

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

知识目标：

（1）从本质上理解函数单调性概念；

（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。

能力目标：

（1）培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。（3）培养学生从具体到抽象的能力。

情感目标：

（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神。

（2）通过本课的学习，使学生能理性地思考生活中的增长、递减现象。

学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．

企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．

【教学重点】形成增(减)函数的形式化定义．

【教学难点】如何从函数图象的升降直观认识过渡到增(减)函数的数学符号语言表述.运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。．

情境1

问题1：2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，你知道主要是什么原因吗？

师生互动：通过交流，了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温开始下降，比较适宜体育赛事.

问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

1．对照图象，直观感知

情境2

问题3：分别作出函数 的图象，从左往右看,自变量变化时，函数值有什么变化规律？

师生互动：从左往右看：

生1: (1)函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大；

生2: (2)函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小．

生3: (3)函数 在 上 y随x的增大而增大，在 上y随x的增大而减小．

生4: (4)函数 在 上 y随x的增大而减小，在 上y随x的增大而减小．

〖设计意图〗引导学生进行分类描述 (增函数、减函数),同时明确函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题4：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

师生互动：让学生回忆初中对函数单调性的解释：图象呈逐渐上升趋势 数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势 数值y随x的增大而减小。

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．认真探究,理解概念

情境3

师：指导学生完成课本上第28页 的对应值表1.3-1,然后回答:

问题5：如何用数学符号语言来说明 在 为增函数？

生5: 取两个数，例如1和2，因为12<22,所以 在 为增函数．

生6:取很多组数验证均满足，所以 在 为增函数．

师：这两种回答都不准确，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生:在给定的区间内任意取两个自变量 ．任取 ,因为 ,即 ，所以 在 为增函数．

〖设计意图〗把对单调性的认识由直观认识过渡到数学符号表述,完成对概念的第二次认识．

3．抽象思维，形成概念

问题6：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生讨论交流,补充完善后得出增函数的定义，然后让学生类比得出减函数的定义．

师生互动：

师:我们在理解函数单调性概念的时要抓住什么关键词?

生7:“在定义域内的某个区间上”,“任意”，“都有”.

追问:函数y＝(x≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数,能否说它在定义域上是减函数?

生8:不能!因为它在整个定义域上根本谈不上增减性。

〖设计意图〗让学生参与用数学符号语言定义函数单调性，感悟数学概念符号化的建构原则。

情境4

师：指导学生阅读课本上第29页例1,并思考:

问题7：观察下列函数的图象，写出其单调区间，并指出它们是否为定义域上的增函数：

o  1

x

y

y＝(x－1)2

y

o

－1

x

1

y=|x－1|－1

师生互动：

函数y＝(x－1)2与y＝|x－1|－1的图象在x≥1时随着x值的增大而上升，在x≤1时随着x的值的增大而下降．所以，它们在 上是减函数，在 上是增函数，但它们在整个定义域上不是增函数.

追问:我们能否说这两个函数在x=1时是递增或递减的?为什么?

生:不能，因为此时函数是一个数。

师:对!函数在某点上,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以在求单调区间时,若端点在定义域内,包不包括端点都可以,但我们要求“能逼则逼”。

〖设计意图〗让学生认识到用图象法判断函数单调性虽然直观,但是不够精确.

情境5

师：指导学生阅读课本上第29页例2,并思考:

问题8： 证明函数 在 上是增函数．

师生互动:

1．分析问题:针对学生可能出现的问题进行讨论、评价,形成正确的推理:

证明：任取 ,

,

已知 　∴ ∴ 即

∴函数 在 上是增函数．　　　 　　

2．归纳步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

思考：1.判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

2.作出函数 的图象，写出他们的单调区间。

3.证明函数 在 上是减函数．

〖设计意图〗巩固判断函数单调性的方法和步骤．

(1) 增(减)函数概念形成过程中,你学到了什么?

(2)判断函数单调性的主要方法有哪些?

(3)用定义证明单调性的方法和步骤?

课本第39页  习题1.3 第1,2,3题

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

情境1

问题1：2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，你知道主要是什么原因吗？

师生互动：通过交流，了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温开始下降，比较适宜体育赛事.

问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

1．对照图象，直观感知

情境2

问题3：分别作出函数 的图象，从左往右看,自变量变化时，函数值有什么变化规律？

师生互动：从左往右看：

生1: (1)函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大；

生2: (2)函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小．

生3: (3)函数 在 上 y随x的增大而增大，在 上y随x的增大而减小．

生4: (4)函数 在 上 y随x的增大而减小，在 上y随x的增大而减小．

〖设计意图〗引导学生进行分类描述 (增函数、减函数),同时明确函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题4：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

师生互动：让学生回忆初中对函数单调性的解释：图象呈逐渐上升趋势 数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势 数值y随x的增大而减小。

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．认真探究,理解概念

情境3

师：指导学生完成课本上第28页 的对应值表1.3-1,然后回答:

问题5：如何用数学符号语言来说明 在 为增函数？

生5: 取两个数，例如1和2，因为12<22,所以 在 为增函数．

生6:取很多组数验证均满足，所以 在 为增函数．

师：这两种回答都不准确，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生:在给定的区间内任意取两个自变量 ．任取 ,因为 ,即 ，所以 在 为增函数．

〖设计意图〗把对单调性的认识由直观认识过渡到数学符号表述,完成对概念的第二次认识．

3．抽象思维，形成概念

问题6：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生讨论交流,补充完善后得出增函数的定义，然后让学生类比得出减函数的定义．

师生互动：

师:我们在理解函数单调性概念的时要抓住什么关键词?

生7:“在定义域内的某个区间上”,“任意”，“都有”.

追问:函数y＝(x≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数,能否说它在定义域上是减函数?

生8:不能!因为它在整个定义域上根本谈不上增减性。

〖设计意图〗让学生参与用数学符号语言定义函数单调性，感悟数学概念符号化的建构原则。

情境4

师：指导学生阅读课本上第29页例1,并思考:

问题7：观察下列函数的图象，写出其单调区间，并指出它们是否为定义域上的增函数：

o  1

x

y

y＝(x－1)2

y

o

－1

x

1

y=|x－1|－1

师生互动：

函数y＝(x－1)2与y＝|x－1|－1的图象在x≥1时随着x值的增大而上升，在x≤1时随着x的值的增大而下降．所以，它们在 上是减函数，在 上是增函数，但它们在整个定义域上不是增函数.

追问:我们能否说这两个函数在x=1时是递增或递减的?为什么?

生:不能，因为此时函数是一个数。

师:对!函数在某点上,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以在求单调区间时,若端点在定义域内,包不包括端点都可以,但我们要求“能逼则逼”。

〖设计意图〗让学生认识到用图象法判断函数单调性虽然直观,但是不够精确.

情境5

师：指导学生阅读课本上第29页例2,并思考:

问题8： 证明函数 在 上是增函数．

师生互动:

1．分析问题:针对学生可能出现的问题进行讨论、评价,形成正确的推理:

证明：任取 ,

,

已知 　∴ ∴ 即

∴函数 在 上是增函数．　　　 　　

2．归纳步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

思考：1.判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

2.作出函数 的图象，写出他们的单调区间。

3.证明函数 在 上是减函数．

〖设计意图〗巩固判断函数单调性的方法和步骤．

(1) 增(减)函数概念形成过程中,你学到了什么?

(2)判断函数单调性的主要方法有哪些?

(3)用定义证明单调性的方法和步骤?

课本第39页  习题1.3 第1,2,3题