1.2.1 函数的概念多媒体教案及点评

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能：理解函数的概念，理解构成函数的三要素。

会求一些简单函数的定义域和值域；

2、过程与方法：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数。

3、情感、态度与价值观：体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

对于函数的定义在初中也学过，但高中函数的定义很抽象，是从集合的角度来描述的，那么这一点对初学的学生来说学习起来就有一定的难度。

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

难点：对符号“y=f(x) ”含义的理解.

《函数的概念（一）》教案

保靖民中     向宏春

教学目的：

1、知识与技能：理解函数的概念，理解构成函数的三要素。

会求一些简单函数的定义域和值域；

2、过程与方法：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数。

3、情感、态度与价值观：体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：对符号“ ”含义的理解.

教学过程：

引入课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

在一个变化过程中有两个变量x和y，

如果对于x的每一个值，y都有唯一的值

与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x

叫做自变量，y是函数值。

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

实例1：思考

（1）实例1中有几个变量？

  时间t         高度h

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

     通过关系式 实现对应的；

     对于A中任意一个时间t，按照对应关系 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。

（4）若只有变量t的变化范围，没有关系式 ，能求出高度h的值吗？

回答：不能

     若只有关系式 ，没有变量t的变化范围，能求出高度h的值吗？

回答：不能

     若变量t的变化范围确定，关系式 也确定，那么高度h的值能确定吗？

     回答：能

     从以上思考问题的角度分析实例2

（1）实例2中有几个变量？

  时间t         面积s

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

    通过图象对应的；由横坐标t对应到图象上的点，再对应到纵坐标s.

    对于A中任意一个时间t，按照图象中曲线，在数集B中都有唯一的面积s和它对应。

（4）若只有变量t的变化范围，没有图象，能求出面积s的值吗？回答：不能

     若只有图象，而没有确定变量t的值，能确定面积s的值吗？回答：不能

     若变量t的变化范围确定，图象也确定，那么面积s的值能确定吗？回答：能

   实例3 思考：

（1）实例3中有几个变量？

  时间t         恩格尔系数y

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

     通过图表实现对应的；

     对于A中任意一个时间t，按照图表，在数集B中都有唯一的y值和它对应。

3、通过对三个实例的分析，你能说出他们有什么不同点与共同点吗？归纳以上三个实例共同点，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：

对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作  f：A→B .

引入函数的定义

     设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

     记作：y = f(x)  x∈A

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值集合{f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

值域是集合B的子集。

理解函数定义

① 定义中集合A、B都是非空的数集。特别地，定义域不能是空集，自变量x必须取有意义的值。

② 对应关系f的形成可以是解析式、图象、表格.

③ 定义域中x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一确定的y和它对应.

④ 集合B中对应x的元素是函数值。集合B中可能存在元素没有对应的x值，因而不是函数值，故值域是集合B的子集。

⑤ 构成函数三要素：定义域，对应关系，值域。

   其中定义域与对应关系确定了值域。

⑥ 函数新定义与初中函数定义的区别在于：明确了变量取值范围，强调了对应关系；应用集合语言刻画函数的概念。

例1： 下列说话中，不正确的是（ D  ）

A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应。

B、函数的定义域和值域一定是无限集合。

C、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定。

D、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素。

例2：在下列图象中，请指出哪一个是函数图象，哪一个不是，并说明理由。

       （1）          （2）           （3）              （4）

解：(1) 不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应，如x=0是有y=1或y=-1与之对应

   （2）是：满足函数的定义，因为任意的一个x都有唯一的y=1与之对应

   （3）不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应；如x=0时有y=1或y=-1与之对应

    (4) 不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应

点评   判断给定的两个变量之间是否有函数关系的方法：

① 定义域和对应关系是否给出？

② 根据所给对应关系，自变量x在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数y和它对应？

二、课堂练习

1、对于函数y=f(x)，以下说话正确的有（ B ）

① y是x的函数；

② 对于不同的x,y的值也就不同；

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；

 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。

A、1个       B、2个       C、3个         D、4个

2、给出四个命题:

① 函数就是定义域到值域的对应关系；

② 若函数的定义域只含有一个元素，值域也只有一个元素；

③ 因 f(x)=5（x∈R）,这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立；

 ④ 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了。

   正确的有（ D ）

A、1个       B、2个       C、3个         D、4个

三、课堂小结

1、函数的定义；

2、感知两个变量的依赖关系；

3、对应关系的三种形式；

4、函数三要素.

四、作业布置

判断下列对应是否为函数：

（1）f：x→  (x≠0，x∈R)

（2）f：x→y，其中 ，x∈R，y∈R

（3）f：x→y，其中

（4）已知集合A=R，B={-1,1}，对应法则f：A→B

当x为有理数时，f(x)=-1；当x为无理数时，f(x)=1.

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

《函数的概念（一）》教案

保靖民中     向宏春

教学目的：

1、知识与技能：理解函数的概念，理解构成函数的三要素。

会求一些简单函数的定义域和值域；

2、过程与方法：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数。

3、情感、态度与价值观：体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：对符号“ ”含义的理解.

教学过程：

引入课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

在一个变化过程中有两个变量x和y，

如果对于x的每一个值，y都有唯一的值

与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x

叫做自变量，y是函数值。

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

实例1：思考

（1）实例1中有几个变量？

  时间t         高度h

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

     通过关系式 实现对应的；

     对于A中任意一个时间t，按照对应关系 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。

（4）若只有变量t的变化范围，没有关系式 ，能求出高度h的值吗？

回答：不能

     若只有关系式 ，没有变量t的变化范围，能求出高度h的值吗？

回答：不能

     若变量t的变化范围确定，关系式 也确定，那么高度h的值能确定吗？

     回答：能

     从以上思考问题的角度分析实例2

（1）实例2中有几个变量？

  时间t         面积s

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

    通过图象对应的；由横坐标t对应到图象上的点，再对应到纵坐标s.

    对于A中任意一个时间t，按照图象中曲线，在数集B中都有唯一的面积s和它对应。

（4）若只有变量t的变化范围，没有图象，能求出面积s的值吗？回答：不能

     若只有图象，而没有确定变量t的值，能确定面积s的值吗？回答：不能

     若变量t的变化范围确定，图象也确定，那么面积s的值能确定吗？回答：能

   实例3 思考：

（1）实例3中有几个变量？

  时间t         恩格尔系数y

（2）两个变量是怎样的变化范围？

（3）两个变量是通过什么实现对应的？是怎样对应的？

     通过图表实现对应的；

     对于A中任意一个时间t，按照图表，在数集B中都有唯一的y值和它对应。

3、通过对三个实例的分析，你能说出他们有什么不同点与共同点吗？归纳以上三个实例共同点，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：

对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作  f：A→B .

引入函数的定义

     设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

     记作：y = f(x)  x∈A

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值集合{f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

值域是集合B的子集。

理解函数定义

① 定义中集合A、B都是非空的数集。特别地，定义域不能是空集，自变量x必须取有意义的值。

② 对应关系f的形成可以是解析式、图象、表格.

③ 定义域中x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一确定的y和它对应.

④ 集合B中对应x的元素是函数值。集合B中可能存在元素没有对应的x值，因而不是函数值，故值域是集合B的子集。

⑤ 构成函数三要素：定义域，对应关系，值域。

   其中定义域与对应关系确定了值域。

⑥ 函数新定义与初中函数定义的区别在于：明确了变量取值范围，强调了对应关系；应用集合语言刻画函数的概念。

例1： 下列说话中，不正确的是（ D  ）

A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应。

B、函数的定义域和值域一定是无限集合。

C、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定。

D、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素。

例2：在下列图象中，请指出哪一个是函数图象，哪一个不是，并说明理由。

       （1）          （2）           （3）              （4）

解：(1) 不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应，如x=0是有y=1或y=-1与之对应

   （2）是：满足函数的定义，因为任意的一个x都有唯一的y=1与之对应

   （3）不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应；如x=0时有y=1或y=-1与之对应

    (4) 不是：不是任意的一个x都有唯一的y与之对应

点评   判断给定的两个变量之间是否有函数关系的方法：

① 定义域和对应关系是否给出？

② 根据所给对应关系，自变量x在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数y和它对应？

二、课堂练习

1、对于函数y=f(x)，以下说话正确的有（ B ）

① y是x的函数；

② 对于不同的x,y的值也就不同；

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；

 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。

A、1个       B、2个       C、3个         D、4个

2、给出四个命题:

① 函数就是定义域到值域的对应关系；

② 若函数的定义域只含有一个元素，值域也只有一个元素；

③ 因 f(x)=5（x∈R）,这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立；

 ④ 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了。

   正确的有（ D ）

A、1个       B、2个       C、3个         D、4个

三、课堂小结

1、函数的定义；

2、感知两个变量的依赖关系；

3、对应关系的三种形式；

4、函数三要素.

四、作业布置

判断下列对应是否为函数：

（1）f：x→  (x≠0，x∈R)

（2）f：x→y，其中 ，x∈R，y∈R

（3）f：x→y，其中

（4）已知集合A=R，B={-1,1}，对应法则f：A→B

当x为有理数时，f(x)=-1；当x为无理数时，f(x)=1.