1.3.1 单调性与最大（小）值特级教师教学实录

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．

2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理 解能力和逻辑推理能力．

3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．

函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变 量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．

理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．

教学设计
一、问题情境

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2. 分别作出下列函数的图像：

（1）y＝2x．　　　（2）y＝－x＋2．　　　（3）y＝x2．

根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？[来源:学科网ZXXK]

二、建立模型

1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

观察函数y＝2x， y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在 （－∞，０）上的图像由左向 右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？

以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝ ，f（x2）＝ ．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．

注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．[来源:学科网]

2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括

设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．

3. 提出问题，组织学生讨论

（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？[来源:Z§xx§k.Com]

（2）定义在R上函数 f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．

（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．

三、解释应用

［例　题］

1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．

注：要规范解题格式．

2. 证明函数f（x）＝ ，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．

思考：能否说，函数f（x）＝ 在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？

3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝ 在区间D上为减函数．

证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，

[来源:学科网ZXXK]

∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．[来源:Z+xx+k.Com]

［练　习］

1. 证明：（1）函数f（x）＝ 在（0，＋∞）上是增函数．

（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞， ］上是减函数．

2. 判断函数的单调性，并写出相应的单 调区间．

3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g （x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．

四、拓展延伸

1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．

2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．

3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比 叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．

（1）根据函数的平均变化率 判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．

（2）比值 的大小与函数值增长的快慢有什 么关系？

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

教学设计
一、问题情境

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2. 分别作出下列函数的图像：

（1）y＝2x．　　　（2）y＝－x＋2．　　　（3）y＝x2．

根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？[来源:学科网ZXXK]

二、建立模型

1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

观察函数y＝2x， y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在 （－∞，０）上的图像由左向 右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？

以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝ ，f（x2）＝ ．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．

注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．[来源:学科网]

2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括

设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．

3. 提出问题，组织学生讨论

（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？[来源:Z§xx§k.Com]

（2）定义在R上函数 f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．

（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．

三、解释应用

［例　题］

1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．

注：要规范解题格式．

2. 证明函数f（x）＝ ，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．

思考：能否说，函数f（x）＝ 在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？

3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝ 在区间D上为减函数．

证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，

[来源:学科网ZXXK]

∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．[来源:Z+xx+k.Com]

［练　习］

1. 证明：（1）函数f（x）＝ 在（0，＋∞）上是增函数．

（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞， ］上是减函数．

2. 判断函数的单调性，并写出相应的单 调区间．

3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g （x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．

四、拓展延伸

1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．

2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．

3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比 叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．

（1）根据函数的平均变化率 判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．

（2）比值 的大小与函数值增长的快慢有什 么关系？