信息技术应用 探索反比例函数的性质特级教师教学实录

地区： 四川省 - 广元市 - 苍溪县

学校：苍溪县歧坪镇南阳小学校

信息技术应用　探索反比例… 初中数学       人教2011课标版

【学习目标】

1、理解反比例函数的定义；

2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

由于我校学生基础较差，在理解反比例与运用反比例上部分学生都存在一些问题，本节课我教学设计采用由浅入深，从生活中的例子入手，逐步理解反比例的性质，在此基础上让学生运用反比例性质解决一些实际问题。

新课导引

【生活链接】学校课外小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.

【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?

知识点1、反比例函数的定义    重点：理解

一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.

y是x的反比例函数(k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k.

拓展 (1)在反比例函数(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如,等都是反比例函数,但就不是关于x的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.

(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.

知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式  难点:运用

由于反比例函数中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.

其一般步骤:

(1)设反比例函数关系式(k≠0).

(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.

(3)解方程,求出待定系数k的值.

(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.

知识点3反比例函数图象的画法  难点;运用

反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:

(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.

(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.

(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.

说明:在图象上注明函数的关系式.

拓展  (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.

(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.

(3)反比例函数(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.

(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.

知识点4反比例函数(k≠0)的性质  难点；灵活应用

如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.

(2)由反比例函数的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.

(3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点.

拓展 

 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.

  (2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大.

   【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.

函数

正比例函数

反比例函数

关系式

y=kx(k≠0)

(k≠0)

图象

过原点的直线

与坐标轴没有交点的双曲线

自变量的取值范围

全体实数

x≠0的全体实数

图象位置

当k＞0时，图象经过第一、三象限

当k＜0时，图象经过第二、四象限

当k＞0时，图象在第一、三象限

当k＜0时，图象在第二、四象限

性质

当k＞0时，y随x的增大而增大

当k＜0时，y随x的增大而减小

当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小

当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大

 知识点5  反比例函数表达式中k的几何意义  拓展；理解

    如图17-3所示，过双曲线上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.

因为，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.

即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.

已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.

 基础知识应用题

1、若变量y与x成正比例变量x与z成反比例，则                      (    )

A.y与z成反比例函数关系             B.y与z成正比例函数关系

C.y与z2成正比例函数关系           D.y与z2成反比例函数关系

2、已知反比例函数的图象经过点(-2，4)，则它的表达式是         .

综合应用题

3、已知正比例函数y=kx和反比例函数的图象都过点A(m，1).求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标.

探索创新题

4、一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时，ρ=1.43.

(1)求ρ与V的函数关系式；

(2)求当V=2时，氧气的密度ρ.

体验中考

1、点P（1，3）在反比例函数(k≠0)的图象上，则k的值是（    ）

A.                B.3                C.                 D.-3

2、已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数（k为常数）的图象有一个交点，交点的横坐标是2.

（1）求两个函数图象的交点坐标；

（2）若点A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且x1＜y1，试比较y1，y2的大小.

附： 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、A分析  本题意在考查对反比例函数的理解和灵活运用，由题竟可设y=k1x(k1≠0), (k2≠0)，把 代入y= k1x中，得y= k1· .因为k1≠0，k2≠0，所以k1k2≠0，所以 是反反函数.

【解题策略】  要注意正比例函数的比例系数和反比例函数的比例系数不一定是同一个.

2、 分析  反比例函数 中的k等于其图象上某一点的横、纵坐标的积，设反比例函数的表达式为 ，函数图象过点(-2，4)，所以 ，所以k=-8，所以函数表达式为 .

3、分析  点A的坐标(m,1)同时满足函数y=kx和 ，所以可以求出m的值，进而求出A点坐标，将其代入y=kx中求得k，再令两个关系式相等，从而求得另一个交点的坐标.

解：因为 的图象经过点A(m，1)，则 ，

所以m=3.

把A(3,1)代入y=kx中，得1=3k，所以 .

所以正比例函数关系式为 .

由 得x=±3.

当x=3时，y=1；当x=-3时，y=-1.

所以另一个交点的坐标为(-3，-1).

【解题策略】  确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数y=kx只有一个待定系数，因此只需要一对对应值即可.

4、分析  设ρ= ，代入数值，求出k，再代入V=2，即可求ρ.

解：(1)设ρ= (k≠0)，

当V=10时，ρ=1.43，所以1.43= ，所以k=14.3.

所以ρ与V之间的函数关系式是ρ= .

(2)当V=2时，ρ= =7.15.

所以当V=2时，氧气的密度为7.15kg/m3.

【解题策略】  了解密度与体积的关系是解决此题的关键.

体验中考

1、B. 分析  把x=1，y=3代入 ，k=3.故选B.

2、分析  求两图象交点坐标的实质是解两函数的解析式组成的方程组，根据函数性质可比较当x1＜x2，时的函数值的大小.

解：（1）由题意，得 ，解得k=1，

所以正比例函数的表达式为y=x，

反比例函数的表达式为 .

解 ，得x=±2.代入y=x，得y=±2.

所以两函数图象的交点坐标为（2，2），（-2，-2）.

（2）因为反比例函数 的图象在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，所以当x1＜x2＜0时，y1＜y2.

当0＜x1＜x2时，y1＞y2.

当x1＜0＜x2时，因为 ＜0， ＞0，所以y1＜y2.

【解题策略】  本题考查正比例函数与反比例函数的解析式及其性质，注意对x1，x2要分类讨论.

学后反思 【解题方法小结】

(1）求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k，故只需给出一对x，y的对应值或一个点的坐标即可.

（2）从函数(k≠0)的图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与与两坐标轴构成的矩形的面积均为|k|，一条垂线段与坐标轴及该点与原点的连线构成的直角三角形的面积.

信息技术应用　探索反比例函数的性质

信息技术应用　探索反比例函数的性质

新课导引

【生活链接】学校课外小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.

【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?

知识点1、反比例函数的定义    重点：理解

一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.

y是x的反比例函数(k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k.

拓展 (1)在反比例函数(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如,等都是反比例函数,但就不是关于x的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.

(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.

知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式  难点:运用

由于反比例函数中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.

其一般步骤:

(1)设反比例函数关系式(k≠0).

(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.

(3)解方程,求出待定系数k的值.

(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.

知识点3反比例函数图象的画法  难点;运用

反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:

(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.

(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.

(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.

说明:在图象上注明函数的关系式.

拓展  (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.

(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.

(3)反比例函数(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.

(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.

知识点4反比例函数(k≠0)的性质  难点；灵活应用

如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.

(2)由反比例函数的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.

(3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点.

拓展 

 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.

  (2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大.

   【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.

函数

正比例函数

反比例函数

关系式

y=kx(k≠0)

(k≠0)

图象

过原点的直线

与坐标轴没有交点的双曲线

自变量的取值范围

全体实数

x≠0的全体实数

图象位置

当k＞0时，图象经过第一、三象限

当k＜0时，图象经过第二、四象限

当k＞0时，图象在第一、三象限

当k＜0时，图象在第二、四象限

性质

当k＞0时，y随x的增大而增大

当k＜0时，y随x的增大而减小

当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小

当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大

 知识点5  反比例函数表达式中k的几何意义  拓展；理解

    如图17-3所示，过双曲线上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.

因为，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.

即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.

已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.

 基础知识应用题

1、若变量y与x成正比例变量x与z成反比例，则                      (    )

A.y与z成反比例函数关系             B.y与z成正比例函数关系

C.y与z2成正比例函数关系           D.y与z2成反比例函数关系

2、已知反比例函数的图象经过点(-2，4)，则它的表达式是         .

综合应用题

3、已知正比例函数y=kx和反比例函数的图象都过点A(m，1).求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标.

探索创新题

4、一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时，ρ=1.43.

(1)求ρ与V的函数关系式；

(2)求当V=2时，氧气的密度ρ.

体验中考

1、点P（1，3）在反比例函数(k≠0)的图象上，则k的值是（    ）

A.                B.3                C.                 D.-3

2、已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数（k为常数）的图象有一个交点，交点的横坐标是2.

（1）求两个函数图象的交点坐标；

（2）若点A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且x1＜y1，试比较y1，y2的大小.

附： 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、A分析  本题意在考查对反比例函数的理解和灵活运用，由题竟可设y=k1x(k1≠0), (k2≠0)，把 代入y= k1x中，得y= k1· .因为k1≠0，k2≠0，所以k1k2≠0，所以 是反反函数.

【解题策略】  要注意正比例函数的比例系数和反比例函数的比例系数不一定是同一个.

2、 分析  反比例函数 中的k等于其图象上某一点的横、纵坐标的积，设反比例函数的表达式为 ，函数图象过点(-2，4)，所以 ，所以k=-8，所以函数表达式为 .

3、分析  点A的坐标(m,1)同时满足函数y=kx和 ，所以可以求出m的值，进而求出A点坐标，将其代入y=kx中求得k，再令两个关系式相等，从而求得另一个交点的坐标.

解：因为 的图象经过点A(m，1)，则 ，

所以m=3.

把A(3,1)代入y=kx中，得1=3k，所以 .

所以正比例函数关系式为 .

由 得x=±3.

当x=3时，y=1；当x=-3时，y=-1.

所以另一个交点的坐标为(-3，-1).

【解题策略】  确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数y=kx只有一个待定系数，因此只需要一对对应值即可.

4、分析  设ρ= ，代入数值，求出k，再代入V=2，即可求ρ.

解：(1)设ρ= (k≠0)，

当V=10时，ρ=1.43，所以1.43= ，所以k=14.3.

所以ρ与V之间的函数关系式是ρ= .

(2)当V=2时，ρ= =7.15.

所以当V=2时，氧气的密度为7.15kg/m3.

【解题策略】  了解密度与体积的关系是解决此题的关键.

体验中考

1、B. 分析  把x=1，y=3代入 ，k=3.故选B.

2、分析  求两图象交点坐标的实质是解两函数的解析式组成的方程组，根据函数性质可比较当x1＜x2，时的函数值的大小.

解：（1）由题意，得 ，解得k=1，

所以正比例函数的表达式为y=x，

反比例函数的表达式为 .

解 ，得x=±2.代入y=x，得y=±2.

所以两函数图象的交点坐标为（2，2），（-2，-2）.

（2）因为反比例函数 的图象在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，所以当x1＜x2＜0时，y1＜y2.

当0＜x1＜x2时，y1＞y2.

当x1＜0＜x2时，因为 ＜0， ＞0，所以y1＜y2.

【解题策略】  本题考查正比例函数与反比例函数的解析式及其性质，注意对x1，x2要分类讨论.

学后反思 【解题方法小结】

(1）求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k，故只需给出一对x，y的对应值或一个点的坐标即可.

（2）从函数(k≠0)的图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与与两坐标轴构成的矩形的面积均为|k|，一条垂线段与坐标轴及该点与原点的连线构成的直角三角形的面积.