22.3实际问题与二次函数（通用）教案和课堂实录

地区： 江苏省 - 南通市 - 海安县

学校：海安县南莫中学

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

1、知识与技能：

经历数学建模的基本过程。

2、方法与技能：

会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、情感、态度与价值观：

体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

一、创设问题情境

    如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

    如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：    y＝ax2  (a＜0)    (1)

    因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝2(AB) ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

    因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得    －0.8＝a×22    所以a＝－0.2

    因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

二、引申拓展

    问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

    让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

    问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

    分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

      解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

    因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到16＋4b＝0(4a＋2b＝0.8)解这个方程组，  得5(4)

 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－5(1)x2＋5(4)x。

    问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?

    问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

    (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)　

    三、课堂练习：  P18练习1．(1)、(3)2。

    四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

    分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

    解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到4a－2b＝－4(64a＋8b＝－4)解这个方程组，得2(3)

    所以，所求二次函数的关系式是y＝－4(1)x2＋2(3)x＋4

    练习：    一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

一、创设问题情境

    如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

    如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：    y＝ax2  (a＜0)    (1)

    因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝2(AB) ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

    因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得    －0.8＝a×22    所以a＝－0.2

    因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

二、引申拓展

    问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

    让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

    问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

    分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

      解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

    因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到16＋4b＝0(4a＋2b＝0.8)解这个方程组，  得5(4)

 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－5(1)x2＋5(4)x。

    问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?

    问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

    (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)　

    三、课堂练习：  P18练习1．(1)、(3)2。

    四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

    分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

    解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到4a－2b＝－4(64a＋8b＝－4)解这个方程组，得2(3)

    所以，所求二次函数的关系式是y＝－4(1)x2＋2(3)x＋4

    练习：    一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。