22.1 二次函数的图象和性质教案板书设计

地区： 四川省 - 自贡市 - 沿滩区

学校：四川省自贡市第二十一中学校

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

1、使学生会用描点法画出y=ax²的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax ²图象 性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好

（1）学生的年龄与认知特点：九年级学生大约十四五岁，思维活跃，求知欲强，容易接受新鲜事物，对于传统的课堂教学方式比较厌倦，本节课采用活动课形式，符合学生的认知特点，容易调动学生的学习积极性，满足其学习愿望。

（2）学生的知识经验：学生已掌握了二次函数的概念，以及用描点法做出函数图象的作法：对于作出二次函数的图象难度不会很大，但如果部分学生的水平不是很好，在由特殊的函数到一般的二次函数y=ax²的性质探索过程会有较大的难度，所以本课我设计通过几何画板课件，利用动态的演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低学生理解的难度。

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax²的图象是教学的重点。

难点：用描点法画出二次函数y=ax²的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax²的图象是教学的重点。

难点：用描点法画出二次函数y=ax²的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

一、提出问题

    1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

    (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

    2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

    (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

    3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、探索图象

 例1、画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y

…

9

4

1

0

1

4

9

…

 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

三、做一做

    1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

    2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

    3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

  对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

    对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点，教师可引导学生类比1得出。

    对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

    函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

    如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

    让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

    当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

    (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

    (2)yA、yB大小关系如何?

    (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

    (4)yC、yD大小关系如何?

    (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD)

    其次，让学生填空。

    当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

    以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

    思考以下问题：

    观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?

    让学生讨论、交流，达成共识：当a<O时，抛物线y=ax2开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax2的性质：当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：

练习1、在同一坐标系中，画出函数，和函数的图象并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

教师问：在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图象怎样画更简便？

(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)

练习2：已知二次函数（）的图象经过点（-2，-3）。

求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。

六、谈收获

1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线.

2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点   

4、抛物线的开口与的大小关系。

七、作业：    1．如何画出函数y=ax2的图象?

   　　　　　 2．函数y＝ax2具有哪些性质?

    　　　　　3．谈谈你对本节课学习的体会。

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

一、提出问题

    1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

    (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

    2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

    (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

    3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、探索图象

 例1、画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y

…

9

4

1

0

1

4

9

…

 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

三、做一做

    1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

    2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

    3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

  对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

    对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点，教师可引导学生类比1得出。

    对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

    函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

    如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

    让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

    当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

    (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

    (2)yA、yB大小关系如何?

    (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

    (4)yC、yD大小关系如何?

    (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD)

    其次，让学生填空。

    当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

    以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

    思考以下问题：

    观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?

    让学生讨论、交流，达成共识：当a<O时，抛物线y=ax2开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax2的性质：当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：

练习1、在同一坐标系中，画出函数，和函数的图象并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

教师问：在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图象怎样画更简便？

(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)

练习2：已知二次函数（）的图象经过点（-2，-3）。

求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。

六、谈收获

1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线.

2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点   

4、抛物线的开口与的大小关系。

七、作业：    1．如何画出函数y=ax2的图象?

   　　　　　 2．函数y＝ax2具有哪些性质?

    　　　　　3．谈谈你对本节课学习的体会。