22.1 二次函数的图象和性质课件配套优秀教案案例

地区： 福建省 - 莆田市 - 秀屿区

学校：莆田市秀屿区下屿初级中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围

学生已经学习过“一次函数”，已经掌握了函数的概念和三种表示方法，理解并掌握了确定函数解析式的重要方法——待定系数法，初步具备了用函数解题的思考方法及表达能力，具有了初步的函数思想和数形结合思想的意识，为本章学习奠定了基础。但是由于本班学生的知识基础原因，他们在用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力还有待培养。学生对知识遗忘现象也比较普遍。

教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

生活中我们经常看到这样的情境：投掷出去的篮球、喷射的喷泉，投掷的实心球…，它们呈现在我们面前的是类怎样的曲线呢？（我们形象地称之为“抛物线”）

从今天开始我们就来研究有关抛物线的函数。

1、（小组活动一）（师）请大家把课前作业（见附件）准备好，按组序展示所列函数的解析式。

问题1：圆的面积S是半径r的函数；

问题2：等腰三角形的顶角度数 是它的一个底角的度数 的函数；

问题3：如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积s(cm2) 是正方形的边长a(cm)的函数；

问题4：长方形的面积为20m2，一边长a（m）是另一边长b（m）的函数；

问题5：如图，用20m长的篱笆（虚线部分），两面靠墙，围成矩形小花园.设花园的一边长为xm，要围成花园的面积为ym2，那么y与x的函数关系可表示为： 

问题6：某化肥厂10月份生产某种化肥200 t，如果11、12月的月平均增长率均为x，试写出该厂12月份化肥的产量产y(t)与x之间的函数关系式；

师：由于我们通常用x表示自变量，y表示因变量，所以，经过整理（整理成按x的降幂排列的形式）这些函数的关系式可以分别写为？（请一个同学展示，教师一次把纸条粘到黑板上）

2、小组活动二：类比旧知 归纳新知（学生：思考、讨论、回答，教师：巡回，指导，了解情况）

（1）、观察所列出的函数，你可以对这些函数进行怎样的分类？为什么这样分？

（2）、哪个函数是我们认识的？它是什么函数？

师：我们已经学过一次函数，等号右边是分式的函数我们即将要学，今天主要来研究这类（二次函数）等号右边是整式的函数。

（3）、它们之间有什么共同特征？

师小结：我们研究函数关系式主要是关注它的结构特征：等号右侧是整式还是分式，以及自变量的最高次项（的次数和系数），因为最高次项决定函数的类别。

    所以我们类比一次函数，可以称这类函数为什么函数？  （ 引出课题）

今天，我们就来研究二次函数。（师：板书课题）

3、类比一次函数的定义，你能试着归纳出二次函数的定义吗？

二次函数的定义：（教师规范语言，板书定义）

一般地，形如 的函数叫做二次函数。其中a、b分别为二次项的系数、一次项的系数，c为常数项。

师：

1、  定义中的“形如”即由形来定义函数，二次函数等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，是一个二次多项式。

2、  在二次函数的解析式中，自变量是x，它的取值范围是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义，从明天开始我们再研究它。

3、  想一想：为什么二次函数定义中强调 ？

          （生：思考后回答）

师强调：二次函数解析式中的二项系数a不能为零。）

4、  二次函数解析式中的b和c是否可以为0？

（生：思考后回答。）

师：我们来看引例：你能把它们的解析式都表示为 的形式吗？

         得到二次函数的三种特殊形式。

（生：理解二次函数b、c均可为零）

师：（1）、我们发现以上四个不同形式二次函数都能化为 （a、b、c为常数，a≠0）的形式，所以，我们称 （a、b、c为常数，a≠0）为二次函数的一般式；

（2）、可见，二次函数的解析式可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即二次项的系数 ；

（3）、判断一个函数是否是二次函数的关键是看什么？

生：二次项系数不为零。师：强调不能忽略另两点。

（1、整式；2、自变量的最高次数为2；3、二次项系数不为零）。

基于我们对二次函数定义的理解，完成下题：

例1：下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数、常数项，若不是，请说明理由。

（1）、   （2）、                        

 (3)、          (4) 、              

(5)、       (6)、                    

 (7)、

（师：前三道指定学生回答，引导学生发现对于不能直接判断的，化简整理成一般式后再判断。第四题以后由学生举手回答。最后，师强调要注意对于不能直接判定的函数，需要化为一般式之后再判断。）

小组活动三  要求：

§      每人请模仿此题举出一个函数关系式，并判断是否是二次函数；

§  请组长选一个好的题目粘到黑板上的相应位置。
§  后面的题目不能与已粘贴组的题目类型重样；
§  各组同学指定其他组的同学回答；

§  出题者判断答题者回答是否正确；
§  看看哪个组出的题目最具有代表性，哪个组的同学回答的最好，哪位出题者判断的最棒。

（生：各组按要求活动，师：适时点评，帮助学生处理有分歧的地方。）

试一试：写出一个符合以下条件的二次函数

      （1）、二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为0；

      （2）、二次项系数为-5，一次项系数为0；

      （3）、常数项等于二次项系数与一次项系数的和。

（生：回答，师：以追问的形式，完善例子形式。）

师小结：二次项系数不为零，保证二次项的存在，可见a≠0的重要性，现在请完成例2.

    例2：（1）、关于x的函数 是二次函数，则m的取值范围是_____；（请口答）

    （2）、关于x的函数 是二次函数，求m的值；

追问：请写出它的解析式。（板书）

（3）、关于x的函数 是二次函数，求m的取值范围；

追问：若是一次函数，m的值又是多少？

再次追问：若只问是函数呢？

解：（2）、∵是二次函数         

师小结：要注意分类讨论思想的运用：1、自变量的系数含有字母时需要考虑分类讨论；2、当函数类别不确定时也需要分类讨论，我们将下节课解决它

 写出一个二次项系数是3，不含一次项的二次函数________________

谈一谈本节课你的收获：（学生畅所欲言、师帮助归纳思想方法）

知识方面：1、二次函数的定义是？自变量的取值范围是？根据b、c取值的不同，可分为几种形式？

          2、若函数是二次函数，需要满足那些条件？

思想方法：类比、分类讨论、方程思想、模型思想

拓展：（视课堂完成情况决定是否开展活动）

小组活动四：组员独立完成，遇到困难，合作完成，比一比，哪个组最棒！

（3）、关于x的函数 是二次函数, 求m的值；

若是一次函数呢？ 

  （3）、若是二次函数，则有            若是一次函数，则有

同步练习册36页，37页（注意实际问题中的自变量的取值范围）

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

生活中我们经常看到这样的情境：投掷出去的篮球、喷射的喷泉，投掷的实心球…，它们呈现在我们面前的是类怎样的曲线呢？（我们形象地称之为“抛物线”）

从今天开始我们就来研究有关抛物线的函数。

1、（小组活动一）（师）请大家把课前作业（见附件）准备好，按组序展示所列函数的解析式。

问题1：圆的面积S是半径r的函数；

问题2：等腰三角形的顶角度数 是它的一个底角的度数 的函数；

问题3：如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积s(cm2) 是正方形的边长a(cm)的函数；

问题4：长方形的面积为20m2，一边长a（m）是另一边长b（m）的函数；

问题5：如图，用20m长的篱笆（虚线部分），两面靠墙，围成矩形小花园.设花园的一边长为xm，要围成花园的面积为ym2，那么y与x的函数关系可表示为： 

问题6：某化肥厂10月份生产某种化肥200 t，如果11、12月的月平均增长率均为x，试写出该厂12月份化肥的产量产y(t)与x之间的函数关系式；

师：由于我们通常用x表示自变量，y表示因变量，所以，经过整理（整理成按x的降幂排列的形式）这些函数的关系式可以分别写为？（请一个同学展示，教师一次把纸条粘到黑板上）

2、小组活动二：类比旧知 归纳新知（学生：思考、讨论、回答，教师：巡回，指导，了解情况）

（1）、观察所列出的函数，你可以对这些函数进行怎样的分类？为什么这样分？

（2）、哪个函数是我们认识的？它是什么函数？

师：我们已经学过一次函数，等号右边是分式的函数我们即将要学，今天主要来研究这类（二次函数）等号右边是整式的函数。

（3）、它们之间有什么共同特征？

师小结：我们研究函数关系式主要是关注它的结构特征：等号右侧是整式还是分式，以及自变量的最高次项（的次数和系数），因为最高次项决定函数的类别。

    所以我们类比一次函数，可以称这类函数为什么函数？  （ 引出课题）

今天，我们就来研究二次函数。（师：板书课题）

3、类比一次函数的定义，你能试着归纳出二次函数的定义吗？

二次函数的定义：（教师规范语言，板书定义）

一般地，形如 的函数叫做二次函数。其中a、b分别为二次项的系数、一次项的系数，c为常数项。

师：

1、  定义中的“形如”即由形来定义函数，二次函数等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，是一个二次多项式。

2、  在二次函数的解析式中，自变量是x，它的取值范围是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义，从明天开始我们再研究它。

3、  想一想：为什么二次函数定义中强调 ？

          （生：思考后回答）

师强调：二次函数解析式中的二项系数a不能为零。）

4、  二次函数解析式中的b和c是否可以为0？

（生：思考后回答。）

师：我们来看引例：你能把它们的解析式都表示为 的形式吗？

         得到二次函数的三种特殊形式。

（生：理解二次函数b、c均可为零）

师：（1）、我们发现以上四个不同形式二次函数都能化为 （a、b、c为常数，a≠0）的形式，所以，我们称 （a、b、c为常数，a≠0）为二次函数的一般式；

（2）、可见，二次函数的解析式可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即二次项的系数 ；

（3）、判断一个函数是否是二次函数的关键是看什么？

生：二次项系数不为零。师：强调不能忽略另两点。

（1、整式；2、自变量的最高次数为2；3、二次项系数不为零）。

基于我们对二次函数定义的理解，完成下题：

例1：下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数、常数项，若不是，请说明理由。

（1）、   （2）、                        

 (3)、          (4) 、              

(5)、       (6)、                    

 (7)、

（师：前三道指定学生回答，引导学生发现对于不能直接判断的，化简整理成一般式后再判断。第四题以后由学生举手回答。最后，师强调要注意对于不能直接判定的函数，需要化为一般式之后再判断。）

小组活动三  要求：

§      每人请模仿此题举出一个函数关系式，并判断是否是二次函数；

§  请组长选一个好的题目粘到黑板上的相应位置。
§  后面的题目不能与已粘贴组的题目类型重样；
§  各组同学指定其他组的同学回答；

§  出题者判断答题者回答是否正确；
§  看看哪个组出的题目最具有代表性，哪个组的同学回答的最好，哪位出题者判断的最棒。

（生：各组按要求活动，师：适时点评，帮助学生处理有分歧的地方。）

试一试：写出一个符合以下条件的二次函数

      （1）、二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为0；

      （2）、二次项系数为-5，一次项系数为0；

      （3）、常数项等于二次项系数与一次项系数的和。

（生：回答，师：以追问的形式，完善例子形式。）

师小结：二次项系数不为零，保证二次项的存在，可见a≠0的重要性，现在请完成例2.

    例2：（1）、关于x的函数 是二次函数，则m的取值范围是_____；（请口答）

    （2）、关于x的函数 是二次函数，求m的值；

追问：请写出它的解析式。（板书）

（3）、关于x的函数 是二次函数，求m的取值范围；

追问：若是一次函数，m的值又是多少？

再次追问：若只问是函数呢？

解：（2）、∵是二次函数         

师小结：要注意分类讨论思想的运用：1、自变量的系数含有字母时需要考虑分类讨论；2、当函数类别不确定时也需要分类讨论，我们将下节课解决它

 写出一个二次项系数是3，不含一次项的二次函数________________

谈一谈本节课你的收获：（学生畅所欲言、师帮助归纳思想方法）

知识方面：1、二次函数的定义是？自变量的取值范围是？根据b、c取值的不同，可分为几种形式？

          2、若函数是二次函数，需要满足那些条件？

思想方法：类比、分类讨论、方程思想、模型思想

拓展：（视课堂完成情况决定是否开展活动）

小组活动四：组员独立完成，遇到困难，合作完成，比一比，哪个组最棒！

（3）、关于x的函数 是二次函数, 求m的值；

若是一次函数呢？ 

  （3）、若是二次函数，则有            若是一次函数，则有

同步练习册36页，37页（注意实际问题中的自变量的取值范围）