11.3 多边形及其内角和教案2

地区： 甘肃省 - 武威市 - 民勤县

学校：民勤县双茨科乡双茨科中学

11.3　多边形及其内角和 初中数学       人教2011课标版

1、知识与技能目标：

（1）理解多边形及正多边形的定义

（2）了解多边形的内角、外角等概念。

2、过程与方法目标：

（1）掌握类比归纳、转化的学习方法；

（2）通过合作探究，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算。

3、情感、态度与价值观目标：

（1）发展学生的合情推理意识、主动探究的学习习惯；

（2）让学生进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

学生已经很好地掌握了三角形的内角和，具有进一步学习的基础。

（1）多边形的内角和公式、外角和公式

（2）计算多边形的内角和及依据内角和确定多边形边数。

1、三角形的内角和为多少度？180°

正方形、长方形呢？360° 

3、正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？五边形呢？六边形？n边形？

今天我们就一起来探究任意多边形的内角和，板书课题。

1、量一量，算一算

请同学们在练习本上任意画一个四边形，用量角器量出它的四个内角的度数并计算它们的和，然后与同伴交流你的结果。从中你得到什么结论？

2、学生汇报结果，统一认识

四边形的内角和为360°。

3、问题牵引、探究公式

（1）课件出示下面的问题，让学生自己画图思考

①、从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

②、从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？

③、从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？

综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？

（2）、小组交流、汇报结论

设多边形的边数为n，则

n边形的内角和等于（n一2）·180°

4、拓展探究，发展学生思维

想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形，除利用对角线把多边形分成几个三角形外，你还有其他的分法吗？请同学们以五边形为例试试看，你还有新的分割法可以得到n边形的内角和公式吗？

5、由同学们动手操作并推导，与同伴交流后，汇报归纳：（以五边形为例）

方法1：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形、其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°

方法2：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以有（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

同样，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°。

方法3：在五边形ABCDE外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE。

例1  如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°，求：∠B与∠D的关系、

分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到答案。

解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°

∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°

总结：这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。 例2  如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和、六边形的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角

求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值

分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°，由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°，这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。

解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°

    ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°

    由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°

    ∴它的外角和为6×180°一720°=360°

总结：①如果把六边形变成n边形、（n为不小于3的正整数），同样也可以得到其外角和等于360°，即多边形的外角和等于360°

②多边形的外角和与它的边数无关

③对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°

1、多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（    ）

A、互为余角  B、互为邻补角  C、两个角相等  D、外角大于内角

2、若多边形的外角和等于内角和，那么它的边数是（    ）

A、3      B、4        C、5      D、7

3、随着多边形的边数n的增加，它的外角和（    ）

A、增加    B、减小    C、不变   D、不确定

4、一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（    ）

A、180°    B、360°    C、720°    D、1080°

5、一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（    ）

A、五边形    B、八边形    C、十边形    D、十二边形

6、四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=       。

7、一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为       边形。

8、一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为       边形。

9、若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是       边形。

10、如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加       ，外角和增加       。

11、已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数。

12、若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 ，求这个多边形的边数。

13、多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数。

课本习题11.3第2、4、5、题

11.3　多边形及其内角和

11.3　多边形及其内角和

1、三角形的内角和为多少度？180°

正方形、长方形呢？360° 

3、正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？五边形呢？六边形？n边形？

今天我们就一起来探究任意多边形的内角和，板书课题。

1、量一量，算一算

请同学们在练习本上任意画一个四边形，用量角器量出它的四个内角的度数并计算它们的和，然后与同伴交流你的结果。从中你得到什么结论？

2、学生汇报结果，统一认识

四边形的内角和为360°。

3、问题牵引、探究公式

（1）课件出示下面的问题，让学生自己画图思考

①、从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

②、从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？

③、从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？

综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？

（2）、小组交流、汇报结论

设多边形的边数为n，则

n边形的内角和等于（n一2）·180°

4、拓展探究，发展学生思维

想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形，除利用对角线把多边形分成几个三角形外，你还有其他的分法吗？请同学们以五边形为例试试看，你还有新的分割法可以得到n边形的内角和公式吗？

5、由同学们动手操作并推导，与同伴交流后，汇报归纳：（以五边形为例）

方法1：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形、其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°

方法2：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以有（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

同样，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°。

方法3：在五边形ABCDE外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE。

例1  如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°，求：∠B与∠D的关系、

分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到答案。

解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°

∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°

总结：这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。 例2  如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和、六边形的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角

求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值

分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°，由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°，这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。

解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°

    ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°

    由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°

    ∴它的外角和为6×180°一720°=360°

总结：①如果把六边形变成n边形、（n为不小于3的正整数），同样也可以得到其外角和等于360°，即多边形的外角和等于360°

②多边形的外角和与它的边数无关

③对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°

1、多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（    ）

A、互为余角  B、互为邻补角  C、两个角相等  D、外角大于内角

2、若多边形的外角和等于内角和，那么它的边数是（    ）

A、3      B、4        C、5      D、7

3、随着多边形的边数n的增加，它的外角和（    ）

A、增加    B、减小    C、不变   D、不确定

4、一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（    ）

A、180°    B、360°    C、720°    D、1080°

5、一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（    ）

A、五边形    B、八边形    C、十边形    D、十二边形

6、四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=       。

7、一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为       边形。

8、一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为       边形。

9、若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是       边形。

10、如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加       ，外角和增加       。

11、已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数。

12、若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 ，求这个多边形的边数。

13、多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数。

课本习题11.3第2、4、5、题

• 优点:

  教案具有很强的可操作性

• 缺点:

  练习设计有点单一