11.1与三角形有关的线段（通用）教学活动设计方案

地区： 重庆市 - 重庆市 - 铜梁县

学校：铜梁县永嘉初级中学校

11.1　与三角形有关的线段… 初中数学       人教2011课标版

1.知道三角形的边，角及三角形的表示法；在具体的情境中认识三角形，并探索出三角形的三边关系，解决一些生活中的实际问题。

2.经历摆三角形，画三角形、测量三角形的三边长度的过程，培养学生自主、合作、探 索的学习方式，并锻炼其语言表达能力。

3.联系学生的生活环境，创设情景，使学生通过观察，操作、交流、归纳，获得必需的数学知识，让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题意义，激发学生的学习兴趣。

重点 ： 认识三角形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三角形。

难点 ： 运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题。

  在小学，我们大家认识了三角形，三角形看 起来简单，但在工农业生产和日常生活中有许多用处。一起来欣赏老师收集的 图片（电脑播放：吊桥，吊塔等图片）。图片欣赏完了，请同学们再举例说明在日常生活中你还见到什么物体上有三角形呢？

（设计思路：提醒同学们平时要注意观察生活，生活中很多地方有数学）

观察下面的屋顶框架图 问题：⑴你能从图中找出几个不同的三角形吗？并画出来。

(设计思路：从具体事物中，抽象出数学图形，培养数学思想)

⑵这些三角形有什么共同的特点?

(设计思路：回顾已有知识：边、角、顶点，同时也为引入概念作铺垫)

让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是三角形。(学生可以自由发言)

在学生充分交流的基础上得：

   由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

想法质疑？ （三角形的表示）

以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所指三角形不能明确区分”这一现象引入问题：有什么方法能解决这个问题呢？(让学生思考、交流)

可得：用三角形的三个顶点字母来表示。

在学生回忆角的表示方法的基础上得：“三角形”的符号表示“△”

最终得，上图三角形可表示为：△ABC

（设计思路：回顾已有的知识，让学生把前后的知识联系起来进行比较，让学生学会总结）

⑴、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。

（5个,△ABE、△BEC、△CDE、△ABC、△BCD）

⑵、 图中以AB为边的三角形有哪些？

（△ABC、△ABE）

⑶、图中以E为顶点的三角形有哪些？

（△ABE、△BCE、△CDE）

(4)、图中以D为顶点的三角形有哪些？

（△BCD、△DEC）

(设计思路：在学 生回答（1）的基础上让学生思考有无好的寻找方法， 培养学生分类的数学思想方法) 

按角分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分为：不等边三角形和等腰三角形（等腰三角形又分为只有两条边相等的等腰三角形和等边三角形）

(设计思路：温顾三角形的分类为后面练习以及下一节三角形的高中线角平分线做准备)

3．动手实践，奇妙无限

当我们知道了三角形的一些基本表示之后，我们迫切想知道的是组成三角形的三边及三角是否存在一定的规律？接下来我们大家就一起来研究一下三角形的边的规律。投影：

（1）你想探究的问题中，是否包括下面的问题？

①是否任意长度的三条线段都能首尾相连组成三角形？

②如果不是，那么满足什么样的数量关系的 三条线段能组成三角形？

提示：选择6cm、8cm、10cm、16cm的小棒摆一摆，三根一组，共有几种组合，其中哪些组合不能构成三角形？哪些组合能构成三角形？

不能组成三角形的组合是6cm、8cm、16cm;6cm、10cm、16cm

能组成三角形的组合是6cm、8cm、10cm;8cm、10cm、16cm

（2）猜一猜三角形的三条边之间有什么数量关系？

（3）你能用什么方法说明自己的猜想是正确的，请试着说明。

（理由还可以从两点之间线段最短来解释）

（4）写出你经过实践证明所得出的结论 三角形两边之和大于第三边

（5）现在你可以自己来判断一下，自己原来的 猜测对吗？如果有错主要是什么地方错了？你觉得自己的理由能让别人信服吗？

（6）请把你的想法与同伴交流一下，好吗？

师生共同得出三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边。

(设计思路：培养学生一种发现数学问题，解决数学问题的方法)

[例1] 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

（1）3，4，8               （ ×  ）

（2）2，5，6               （ ∨  ）

（3）2：3：4               （ ∨  ）

（4）3，5，8               （ ×  ）

思考：判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？

技巧：比较较短的两边之和与最长边的大小即可。

（设计思路：告知学生知识的形成是一个长期积累的过程，在平时就应该注意归纳总结在学习中的得失，这样可利于自己进一步的提高）

[例2]有两根长度分别为4cm和7cm的木棒，

(1)用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？

(2)长度为11cm的木棒呢？

(3)什么长度范围的木棒, 能与原来的两根木棒摆成三角形?（课后思考）

解：(1)取长度为3cm的木棒时,由于2+4=6<7,出现了两边之和小于第三边的情况, 所以它们不能摆成三角形.

(2)取长度为11cm的木棒时,由于4+7=11,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.

(3)一方面由于4+7=11,所以第三根小木棒的长度必须小于11cm;另一方面由于7－4=3,所以第 三根木棒的长度必须大于3cm，于是，选取木棒的长度x的范围为3cm<x<11cm.

规律：三角形的第三边大于两边之差的绝对值，小于两边之和。即：

两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和

（问题1﹑2是简单的应用；问题3仅让有兴趣的同学课后去思考为什么，解题的过程可以先告诉学生）

思考：某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）。可是， 每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来。你说小学生为什么会这样走呢？ 

（两中解释：①三角形两边之和大于第三边  ②两点之间线段最短）

（设计思路：让学生从多角度去思考问题，教育学生要尊重他人的劳动成果）

[例3]有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！

答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此 人两腿的长均要大于1.5米，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。

（设计思路：利用前面等腰三角形的特征及本节课所学的三角形三边的关系，要考虑是否符合实际的情况）

5．师生共同回忆所学内容，共同小结，渐渐补充。再教师补充。

11.1　与三角形有关的线段　

11.1　与三角形有关的线段　

  在小学，我们大家认识了三角形，三角形看 起来简单，但在工农业生产和日常生活中有许多用处。一起来欣赏老师收集的 图片（电脑播放：吊桥，吊塔等图片）。图片欣赏完了，请同学们再举例说明在日常生活中你还见到什么物体上有三角形呢？

（设计思路：提醒同学们平时要注意观察生活，生活中很多地方有数学）

观察下面的屋顶框架图 问题：⑴你能从图中找出几个不同的三角形吗？并画出来。

(设计思路：从具体事物中，抽象出数学图形，培养数学思想)

⑵这些三角形有什么共同的特点?

(设计思路：回顾已有知识：边、角、顶点，同时也为引入概念作铺垫)

让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是三角形。(学生可以自由发言)

在学生充分交流的基础上得：

   由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

想法质疑？ （三角形的表示）

以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所指三角形不能明确区分”这一现象引入问题：有什么方法能解决这个问题呢？(让学生思考、交流)

可得：用三角形的三个顶点字母来表示。

在学生回忆角的表示方法的基础上得：“三角形”的符号表示“△”

最终得，上图三角形可表示为：△ABC

（设计思路：回顾已有的知识，让学生把前后的知识联系起来进行比较，让学生学会总结）

⑴、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。

（5个,△ABE、△BEC、△CDE、△ABC、△BCD）

⑵、 图中以AB为边的三角形有哪些？

（△ABC、△ABE）

⑶、图中以E为顶点的三角形有哪些？

（△ABE、△BCE、△CDE）

(4)、图中以D为顶点的三角形有哪些？

（△BCD、△DEC）

(设计思路：在学 生回答（1）的基础上让学生思考有无好的寻找方法， 培养学生分类的数学思想方法) 

按角分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分为：不等边三角形和等腰三角形（等腰三角形又分为只有两条边相等的等腰三角形和等边三角形）

(设计思路：温顾三角形的分类为后面练习以及下一节三角形的高中线角平分线做准备)

3．动手实践，奇妙无限

当我们知道了三角形的一些基本表示之后，我们迫切想知道的是组成三角形的三边及三角是否存在一定的规律？接下来我们大家就一起来研究一下三角形的边的规律。投影：

（1）你想探究的问题中，是否包括下面的问题？

①是否任意长度的三条线段都能首尾相连组成三角形？

②如果不是，那么满足什么样的数量关系的 三条线段能组成三角形？

提示：选择6cm、8cm、10cm、16cm的小棒摆一摆，三根一组，共有几种组合，其中哪些组合不能构成三角形？哪些组合能构成三角形？

不能组成三角形的组合是6cm、8cm、16cm;6cm、10cm、16cm

能组成三角形的组合是6cm、8cm、10cm;8cm、10cm、16cm

（2）猜一猜三角形的三条边之间有什么数量关系？

（3）你能用什么方法说明自己的猜想是正确的，请试着说明。

（理由还可以从两点之间线段最短来解释）

（4）写出你经过实践证明所得出的结论 三角形两边之和大于第三边

（5）现在你可以自己来判断一下，自己原来的 猜测对吗？如果有错主要是什么地方错了？你觉得自己的理由能让别人信服吗？

（6）请把你的想法与同伴交流一下，好吗？

师生共同得出三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边。

(设计思路：培养学生一种发现数学问题，解决数学问题的方法)

[例1] 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

（1）3，4，8               （ ×  ）

（2）2，5，6               （ ∨  ）

（3）2：3：4               （ ∨  ）

（4）3，5，8               （ ×  ）

思考：判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？

技巧：比较较短的两边之和与最长边的大小即可。

（设计思路：告知学生知识的形成是一个长期积累的过程，在平时就应该注意归纳总结在学习中的得失，这样可利于自己进一步的提高）

[例2]有两根长度分别为4cm和7cm的木棒，

(1)用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？

(2)长度为11cm的木棒呢？

(3)什么长度范围的木棒, 能与原来的两根木棒摆成三角形?（课后思考）

解：(1)取长度为3cm的木棒时,由于2+4=6<7,出现了两边之和小于第三边的情况, 所以它们不能摆成三角形.

(2)取长度为11cm的木棒时,由于4+7=11,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.

(3)一方面由于4+7=11,所以第三根小木棒的长度必须小于11cm;另一方面由于7－4=3,所以第 三根木棒的长度必须大于3cm，于是，选取木棒的长度x的范围为3cm<x<11cm.

规律：三角形的第三边大于两边之差的绝对值，小于两边之和。即：

两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和

（问题1﹑2是简单的应用；问题3仅让有兴趣的同学课后去思考为什么，解题的过程可以先告诉学生）

思考：某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）。可是， 每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来。你说小学生为什么会这样走呢？ 

（两中解释：①三角形两边之和大于第三边  ②两点之间线段最短）

（设计思路：让学生从多角度去思考问题，教育学生要尊重他人的劳动成果）

[例3]有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！

答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此 人两腿的长均要大于1.5米，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。

（设计思路：利用前面等腰三角形的特征及本节课所学的三角形三边的关系，要考虑是否符合实际的情况）

5．师生共同回忆所学内容，共同小结，渐渐补充。再教师补充。