2.2.2 向量减法运算及其几何意义优秀公开课教案

2.2.2　向量减法运算及其… 高中数学       人教A版2003课标版

教学过程

导入新课

    思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.

    思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.

推进新课

新知探究

提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？

③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

    活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?

引导学生思考,相反向量有哪些性质?

由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.

于是-(-a)=a.

我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.

所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.

(1)平行四边形法则

图1

如图1,设向量 =b, =a,则 =-b,由向量减法的定义,知 =a+(-b)=a-b.

又b+ =a,所以 =a-b.

由此,我们得到a-b的作图方法.

图2

(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

讨论结果:①向量也有减法运算.

②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.

与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.

③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b),

即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

规定:零向量的相反向量是零向量.

④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.

提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?

②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?

讨论结果:① =b-a.

②略.

应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.

图3

    活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.

作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c, =d.则 =a-b, =c-d.

变式训练

  (2006上海高考)  在 ABCD中,下列结论中错误的是(    )

A. =          B.AD+ =        C. -AD=BD      D.AD+ =0

分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中, - = 错误,D中, + = + =0正确.

答案:C

例2 如图4, ABCD中, =a, =b,你能用a、b表示向量 、 吗?

图4

    活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.

解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 =a+b,

同样,由向量的减法,知 = - =a-b.

变式训练

1.(2005高考模拟)  已知一点O到 ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量 等于(    )

A.a+b+c               B.a-b+c                 C.a+b-c               D.a-b-c

图5

解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,

结合图形有 = + = + = + - =a-b+c.

答案:B

2.若 =a+b, =a-b.

①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？

②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6

解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量 、 恰为平行四边形的对角线.

由平行四边形法则,得

=a+b, = - =a-b.

由此问题就可转换为:

①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)

②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)

③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)

④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)?

    点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.

例3 判断题:

(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.

(2)△ABC中,必有 + + =0.

(3)若 + + =0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.

(4)|a+b|≥|a-b|.

活动:根据向量的加、减法及其几何意义.

解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;

若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,

此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.

(2)由向量加法法则 + = , 与CA是互为相反向量,所以有上述结论.

(3)因为当A、B、C三点共线时也有 + + =0,而此时构不成三角形.

(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.

当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;

当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.

综上所述,只有(2)正确.

例4 若| |=8,| |=5,则| |的取值范围是(    )

A.[3,8]                B.(3,8)                  C.[3,13]                 D.(3,13)

解析: = - .

(1)当 、 同向时,| |=8-5=3;

(2)当 、 反向时,| |=8+5=13;

(3)当 、 不共线时,3<| |<13.

综上,可知3≤| |≤13.

答案:C

点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.

变式训练

    已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.

证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,

(1)必要性:作 =a, =b,则由假设 =c,

另一方面a+b= + = .

由于 与 是一对相反向量,

∴有 + =0,

故有a+b+c=0.

(2)充分性:作 =a, =b,则 =a+b,又由条件a+b+c=0,

∴ +c=0.等式两边同加 ,得 + +c= +0.

∴c= ,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.

知能训练

课本本节练习

解答:

1.直接在课本上据原图作(这里从略).

2. , , , , .

点评:解题中可以将减法变成加法运算,如 - = + = ,这样计算比较简便.

3.图略.

课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.

2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.

作业

课本习题2.2  A组6、7、8.

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

教学过程

导入新课

    思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.

    思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.

推进新课

新知探究

提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？

③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

    活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?

引导学生思考,相反向量有哪些性质?

由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.

于是-(-a)=a.

我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.

所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.

(1)平行四边形法则

图1

如图1,设向量 =b, =a,则 =-b,由向量减法的定义,知 =a+(-b)=a-b.

又b+ =a,所以 =a-b.

由此,我们得到a-b的作图方法.

图2

(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

讨论结果:①向量也有减法运算.

②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.

与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.

③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b),

即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

规定:零向量的相反向量是零向量.

④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.

提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?

②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?

讨论结果:① =b-a.

②略.

应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.

图3

    活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.

作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c, =d.则 =a-b, =c-d.

变式训练

  (2006上海高考)  在 ABCD中,下列结论中错误的是(    )

A. =          B.AD+ =        C. -AD=BD      D.AD+ =0

分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中, - = 错误,D中, + = + =0正确.

答案:C

例2 如图4, ABCD中, =a, =b,你能用a、b表示向量 、 吗?

图4

    活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.

解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 =a+b,

同样,由向量的减法,知 = - =a-b.

变式训练

1.(2005高考模拟)  已知一点O到 ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量 等于(    )

A.a+b+c               B.a-b+c                 C.a+b-c               D.a-b-c

图5

解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,

结合图形有 = + = + = + - =a-b+c.

答案:B

2.若 =a+b, =a-b.

①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？

②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6

解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量 、 恰为平行四边形的对角线.

由平行四边形法则,得

=a+b, = - =a-b.

由此问题就可转换为:

①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)

②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)

③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)

④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)?

    点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.

例3 判断题:

(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.

(2)△ABC中,必有 + + =0.

(3)若 + + =0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.

(4)|a+b|≥|a-b|.

活动:根据向量的加、减法及其几何意义.

解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;

若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,

此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.

(2)由向量加法法则 + = , 与CA是互为相反向量,所以有上述结论.

(3)因为当A、B、C三点共线时也有 + + =0,而此时构不成三角形.

(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.

当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;

当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.

综上所述,只有(2)正确.

例4 若| |=8,| |=5,则| |的取值范围是(    )

A.[3,8]                B.(3,8)                  C.[3,13]                 D.(3,13)

解析: = - .

(1)当 、 同向时,| |=8-5=3;

(2)当 、 反向时,| |=8+5=13;

(3)当 、 不共线时,3<| |<13.

综上,可知3≤| |≤13.

答案:C

点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.

变式训练

    已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.

证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,

(1)必要性:作 =a, =b,则由假设 =c,

另一方面a+b= + = .

由于 与 是一对相反向量,

∴有 + =0,

故有a+b+c=0.

(2)充分性:作 =a, =b,则 =a+b,又由条件a+b+c=0,

∴ +c=0.等式两边同加 ,得 + +c= +0.

∴c= ,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.

知能训练

课本本节练习

解答:

1.直接在课本上据原图作(这里从略).

2. , , , , .

点评:解题中可以将减法变成加法运算,如 - = + = ,这样计算比较简便.

3.图略.

课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.

2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.

作业

课本习题2.2  A组6、7、8.