6.1 平方根课堂实录

地区： 湖北省 - 咸宁市 - 通城县

学校：通城县麦市镇中学

6.1　平方根 初中数学       人教2011课标版

1.内容

平方根的概念，平方根的特征。

2.内容解析

  平方根是人教版七年级下第六章第一节内容，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，理解算术平方根、平方根的性质。本节共三课时，本课为第三课时，学生已经掌握了算术平方根概念和性质，会运用计算机求算术平方根的近似值，了解并掌握小数点的移动规律。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是前两节研究的算术平方根，即一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个。平方与开平方互为逆运算，利用这种互逆关系，可以求一个数的平方根。由平方根的概念，可以通过用从特殊到一般以及逻辑推理的方法，得出平方根的特征。

  本节课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法。

  基于以上分析，本节课的教学重点是：平方根的概念。

1.目标。

（1）了解平方根的概念,掌握平方根的特征。

（2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系,求某些非负数的平方根。

2.目标解析

  达成目标（1）的标志是：学生了解如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，并会归纳平方根的特征。即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

达成目标（2）的标志是：学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给出一个非负数a,能找出所有满足x²=a‍ 的x。

   学生对于平方根和算术平方根的概念易混淆，经常容易出现“√4‍ =+2”的错误，在刚开始接触平方根时，可能还有两点不大习惯，一是正数有两个平方根，即正数开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到。

   基于以上分析，本节课的教学难点是：平方根与算术平方根的区别与联系。

问题1：教师黑板展示问题：如果（）²=9  ，（）=？

师生活动：教师把问题改编成（ ）‍² =9的形式，并在学生回答的基础上提示学生注意本题中并没有限制所求的数是正数。由于3‍² =9和（−3）^‍2 =9，所以这个数也可以是-3.教师总结：因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数可以是3和-3.师追问：±3是前面学习过的9的算术平方根吗？学生肯定齐声答：不是。继续追问：为什么不是？直到学生答出本质，也就是算术平方根的概念。

设计意图：直接进入主题,让学生感受平方等于9的数有两个,也复习了算术平方根的概念。为归纳平方根的概念和特征做铺设.

问题2：根据上面的研究过程填表：（课本45页最上面的表格：）

师生活动：学生填写表格（已知幂和指数求底数），教师应关注学生是否从表中数据领会当底数互为相反数时幂相等这一数学事实。

设计意图：让学生在填表的过程中感受一个正数的平方根有两个,进而对平方根有一定的感性认识,为归纳平方根的概念和特质特征做铺垫。

问题3：如果我们把下面的数看成对应上面的数的平方根，你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗？

师生活动：教师引导学生仿照算术平方根的概念结合实例归纳平方根的概念，有利于学生对定义理解和把握。

概念归纳：一般地：如果一个数的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果

x^2‍ =a，那么x叫作a的平方根。例如4和-4是16的平方根，简记±4是16的平方根。

设计意图：这些实例让学生对平方根有一定的感性认识，在此基础上，让学生尝试着分别用文字语言和符号语言仿照算术平方根的概念得出平方根的概念，使学生的学习形成正迁移，学生的自主性得到很好的发展，教学目标得到更好地落实。

问题4：完成书上第45页图6.1-2

:师生活动：师生用ppt填表。教师引导学生比较图1和图2中两种运算的特点，归纳开平方的概念，并让学生认识开平方运算和平方运算互为逆运算。

概念归纳：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。平方运算和开平方运算互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。

设计意图：从图表中让学生直观感受开平方运算与平方运算互为逆运算，并依据这种互逆关系求一个非负数的平方根。

问题5：求下列各数的平方根：

(1 ) 100，(2)    9‍16   ，(3) 0.25 ， (4) （−3）²‍

师生活动：教师引导学生从开平方运算与平方运算互为逆运算的角度解题，教师规范书写格式。

设计意图：在学生初步懂得利用平方根的基础上，让学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己求算术平方根的方法，提高语言表达能力。学生在了解平方根及平方根运算与开平方运算互为逆运算的基础上，通过对例题的研究，进一步理解平方根的概念，突出本节课的重点。

问题8：根据问题5思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？

师生活动：教师引导学生归纳平方根的特征：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根就是0,；负数没有平方根.

特征归纳：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。

表示方法：我们知道,正数a的算术平方根可以用√a‍  表示；正数a的负的平方根可以用符号-‍ √a  表示；

正数a的平方根用符号± √a  表示；读作“正负根号a ”

例如：9的平方根可以用+√9‍ ，它的结果是+3 .并追问符号 只有当a≥0时有意义，a<0时无意义，你知道为什么吗？

设计意图: 讨论使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想。

问题7 ：说出下列各式的意义，并求它们的值

  （1）√36‍  ‍      （2）−‍ √81‍      (3)±√499‍  

师生活动：学生回答并求值。

设计意图: 通过对问题的解决，强化学生对平方根概念的理解，培养学生用规范语言和数学符号解决问题的能力。

问题8 ：判断下列说法是否正确，并说明理由．

（1）49的平方根是7；

（2）2是4的平方根；

（3）1是±1的平方根；

（4）3的平方根是+  √3‍  ；

（5）64的平方根是±8:；

（6）-36‍ 的平方根是-6

师生活动：学生根据平方根的概念和特征进行判断。

设计意图:通过对平方概念和特征的辨析，强化学生对平方根概念和特征的理解。

问题9：提升巩固

1.若x² =4 ,则x=（      ）

2.√16‍  的平方根是（      ）

3.若√x−4‍   =7，则x的平方根是（        ）

4.若a是4的平方根，则a与1的和是（         ）

5.当√4a+1‍  的值为最小时，a的取值为(           )

问题10：同学们，今天你们学到了什么？

学生一一回答，教师请一名学生做一个总结。

问题11：我们学过算术平方根，现在又学了平方根，你能总结一下平方根与算术平方根概念的区别与联系吗？

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系：正数的两个平方根中正的那个平方根就是它的算术平方根，0的平方根就是它的算术平方根。

设计意图：平方根与算术平方根的概念易混淆，通过此问加深学生对它们区别与联系的理解。

教科书 习题6.1第3、4、8题。

6.1　平方根

6.1　平方根

1.内容

平方根的概念，平方根的特征。

2.内容解析

  平方根是人教版七年级下第六章第一节内容，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，理解算术平方根、平方根的性质。本节共三课时，本课为第三课时，学生已经掌握了算术平方根概念和性质，会运用计算机求算术平方根的近似值，了解并掌握小数点的移动规律。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是前两节研究的算术平方根，即一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个。平方与开平方互为逆运算，利用这种互逆关系，可以求一个数的平方根。由平方根的概念，可以通过用从特殊到一般以及逻辑推理的方法，得出平方根的特征。

  本节课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法。

  基于以上分析，本节课的教学重点是：平方根的概念。

1.目标。

（1）了解平方根的概念,掌握平方根的特征。

（2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系,求某些非负数的平方根。

2.目标解析

  达成目标（1）的标志是：学生了解如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，并会归纳平方根的特征。即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

达成目标（2）的标志是：学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给出一个非负数a,能找出所有满足x²=a‍ 的x。

   学生对于平方根和算术平方根的概念易混淆，经常容易出现“√4‍ =+2”的错误，在刚开始接触平方根时，可能还有两点不大习惯，一是正数有两个平方根，即正数开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到。

   基于以上分析，本节课的教学难点是：平方根与算术平方根的区别与联系。

问题1：教师黑板展示问题：如果（）²=9  ，（）=？

师生活动：教师把问题改编成（ ）‍² =9的形式，并在学生回答的基础上提示学生注意本题中并没有限制所求的数是正数。由于3‍² =9和（−3）^‍2 =9，所以这个数也可以是-3.教师总结：因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数可以是3和-3.师追问：±3是前面学习过的9的算术平方根吗？学生肯定齐声答：不是。继续追问：为什么不是？直到学生答出本质，也就是算术平方根的概念。

设计意图：直接进入主题,让学生感受平方等于9的数有两个,也复习了算术平方根的概念。为归纳平方根的概念和特征做铺设.

问题2：根据上面的研究过程填表：（课本45页最上面的表格：）

师生活动：学生填写表格（已知幂和指数求底数），教师应关注学生是否从表中数据领会当底数互为相反数时幂相等这一数学事实。

设计意图：让学生在填表的过程中感受一个正数的平方根有两个,进而对平方根有一定的感性认识,为归纳平方根的概念和特质特征做铺垫。

问题3：如果我们把下面的数看成对应上面的数的平方根，你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗？

师生活动：教师引导学生仿照算术平方根的概念结合实例归纳平方根的概念，有利于学生对定义理解和把握。

概念归纳：一般地：如果一个数的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果

x^2‍ =a，那么x叫作a的平方根。例如4和-4是16的平方根，简记±4是16的平方根。

设计意图：这些实例让学生对平方根有一定的感性认识，在此基础上，让学生尝试着分别用文字语言和符号语言仿照算术平方根的概念得出平方根的概念，使学生的学习形成正迁移，学生的自主性得到很好的发展，教学目标得到更好地落实。

问题4：完成书上第45页图6.1-2

:师生活动：师生用ppt填表。教师引导学生比较图1和图2中两种运算的特点，归纳开平方的概念，并让学生认识开平方运算和平方运算互为逆运算。

概念归纳：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。平方运算和开平方运算互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。

设计意图：从图表中让学生直观感受开平方运算与平方运算互为逆运算，并依据这种互逆关系求一个非负数的平方根。

问题5：求下列各数的平方根：

(1 ) 100，(2)    9‍16   ，(3) 0.25 ， (4) （−3）²‍

师生活动：教师引导学生从开平方运算与平方运算互为逆运算的角度解题，教师规范书写格式。

设计意图：在学生初步懂得利用平方根的基础上，让学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己求算术平方根的方法，提高语言表达能力。学生在了解平方根及平方根运算与开平方运算互为逆运算的基础上，通过对例题的研究，进一步理解平方根的概念，突出本节课的重点。

问题8：根据问题5思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？

师生活动：教师引导学生归纳平方根的特征：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根就是0,；负数没有平方根.

特征归纳：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。

表示方法：我们知道,正数a的算术平方根可以用√a‍  表示；正数a的负的平方根可以用符号-‍ √a  表示；

正数a的平方根用符号± √a  表示；读作“正负根号a ”

例如：9的平方根可以用+√9‍ ，它的结果是+3 .并追问符号 只有当a≥0时有意义，a<0时无意义，你知道为什么吗？

设计意图: 讨论使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想。

问题7 ：说出下列各式的意义，并求它们的值

  （1）√36‍  ‍      （2）−‍ √81‍      (3)±√499‍  

师生活动：学生回答并求值。

设计意图: 通过对问题的解决，强化学生对平方根概念的理解，培养学生用规范语言和数学符号解决问题的能力。

问题8 ：判断下列说法是否正确，并说明理由．

（1）49的平方根是7；

（2）2是4的平方根；

（3）1是±1的平方根；

（4）3的平方根是+  √3‍  ；

（5）64的平方根是±8:；

（6）-36‍ 的平方根是-6

师生活动：学生根据平方根的概念和特征进行判断。

设计意图:通过对平方概念和特征的辨析，强化学生对平方根概念和特征的理解。

问题9：提升巩固

1.若x² =4 ,则x=（      ）

2.√16‍  的平方根是（      ）

3.若√x−4‍   =7，则x的平方根是（        ）

4.若a是4的平方根，则a与1的和是（         ）

5.当√4a+1‍  的值为最小时，a的取值为(           )

问题10：同学们，今天你们学到了什么？

学生一一回答，教师请一名学生做一个总结。

问题11：我们学过算术平方根，现在又学了平方根，你能总结一下平方根与算术平方根概念的区别与联系吗？

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系：正数的两个平方根中正的那个平方根就是它的算术平方根，0的平方根就是它的算术平方根。

设计意图：平方根与算术平方根的概念易混淆，通过此问加深学生对它们区别与联系的理解。

教科书 习题6.1第3、4、8题。