华东师大版八年级下册数学课本课后答案第19章·练习第106页答案

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1、 如图19-1-23，

AD,AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，BE⊥AE,DA⊥BC,

求证：四边形AEBD是矩形,

证明：∵AD,AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，

∴∠DAB=1/2∠BAC, ∠BAE=1/2∠BAF,

∵∠BAC+∠BAF=180 º，∴∠DAB+∠BAE=90º，∴∠DAE=90 º.

∵BE⊥AE，DA⊥BC∴∠AEB=∠ADB=90 º

∴四边形AEBD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。

2、已知：如图19-1-37，在四边形ABCD中，

AB+AC+AD=BA+BC+BD=CA+CD+CB=DA+DB+DC,

求证：四边形ABCD是矩形，

证明：如图19-1-37所示。

∵AB+AC+AD=CA+CD+CB.

∴AB+AD=CD+CB,           ①

∵BA+BC+BD=DA+DB+DC.

∴BA+BC=DA+DC,           ②

∴①+②,得2AB+AD+BC=2CD+AD+BC,即AB=CD.

∵AB+AD=CD+BC,∴AD=BC.

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

∵AB+AC+AD=BA+BC+BD,

∴AC=BD,

∴□ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).
 

3、证明：如图19-1-38所示。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD,AB=CD,

∵CD=CE，∴AB=CE,

∴四边形ABEC是平行四边形,

∵AD//BC，∴∠D=1，

∵∠AFC=∠1+∠2，∠AFC=2∠D.

∴2∠D=∠1+∠2，∴2∠1=∠1+∠2,∴∠1=∠2,∴FE=FC.

∵BC与AE互相平分，∴BF=FC，AF=FE,∴BF=FC=AF=FE.

∴BC=AE，∴□ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).