青岛版八年级下册数学课本课后答案第6章·第34页综合练习答案

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复习与巩固

1、(1)(D)  

(2)(C)  

(3)(C)

2、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC,∠B=∠D.

又∵BE=DF,

∴△ABE望△CDF(SAS), ∴AE=CF.

又∵点M，N分别是AE，CF的中点，

∴ME=1/2AE,FN=1/2CF．

∴ME-NF．

又∵AD∥BC,BE=DF,AD=BC,

∴AF∥CE且AF=CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE//CF，

∴四边形MENF是平行四边形．

3、解：∵DA//NB，DC//MB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∠NDC=∠M．

又∵∠NDC=∠MDA．

∴∠MDA=∠M∴DA =AM

∴四边形ABCD的周长为2(AB+DA)

=2(AB+AM)

=2BM

=2×6

=12.

证明：如图6-5-18所示，

∵AE=AD=BC,AB= CD= CF, 

∠EAB=∠EAD+∠DA

=150º

=∠FCD+∠DCB

=∠FCB.

∴△ABE≌△CFB(SAS)．

∴BE=BF.

5、解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BE//DF.

又∵BF∥DE,

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵AB=7 cm,AE：EB=5：2，

∴EB=2 cm．

∴S四边形BFDE=EB•AD=2×12=24 (cm²)．

6、解：如图6-5-19所示，连接AB.

∵AB=18cm，AE=18cm,BE=18cm,

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB=60º，∴∠1=120º.

又∵菱形中∠D=∠1，∴∠D=120º.

7、解：由题意可知：AB=FG, BC=GA, ∠B=∠G，

∴△ABC≌△FGA(SAS)．

∴∠BAC=∠GFA.

又∵∠GFA+∠GAF= 90º，

∴∠BAC+∠GAF= 90º.

∴∠FAC=90º.

又∵△ABC≌△FGA，∴AC=AF.

∴△ACF是等腰直角三角形，

∴∠FCA=45º.

8、(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD, ∠BCE=∠DCF.

又∵CE= CF，

∴△BCE≌△DCF(SAS).

(2)解：由(1)知△BCE≌△DCF,

∴∠DFC=∠BEC.

又∵∠BEC=60º，∴∠DFC= 60º.

由CE=CF, ∠DCF=90º，∴∠EFC=45º.

∴∠EFD= ∠CFD-∠EFC=60º-45º=15º.

9、证明：如图6-5-20所示，

过点B作△BDC的中线BF交CD于点F,

∴BF=1/2AC=1/2AB.

又∵E是AB的中点，

∴BE=1/2AB.   

∴BE=BF．

∵AB=AC，∴∠ABC_=∠ACB=∠FBC.

又∵BC=BC，∴△EBC≌△FBC(SAS).

∴EC= FC=1/2CD.

∴CD=2CE.

10、解：能取CD的中点E，连接AE, BE,则△ABE是直角三角形，如图6-5-21所示．

证明如下：∵E是CD的中点，DC=2DE. 

∵AD:AB=1:2．∴AB=2AD. 

∵AB=DC, ∴DC= 2AD.

∴AD=DE,

∴∠DAE=∠DEA.

∵DE//AB，∴∠DEA=∠BAE,

∴∠DAE=∠BAE.

∴AE平分∠BAD，

∴∠BAE=1/2∠BAD．

同理，∠ABE=1/2∠ABC.

∵AD∥BC，

∴∠BAD+ ∠ABC=180º．

∴∠BAE+∠ABE=1/2∠BAD+1/2∠ABC=1/2（∠BAD+∠ABC）=90º．

∴△AEB为直角三角形．

拓展与延伸

11、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，∴∠DAF=ZAFB.

又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠AFB．∴AB=BF.

同理，EC= DC.

∵AB=DC．

∴BF=EC.

∴ BF-EF=EC-EF，即BE=FC.

12、解：(1)当AD=2AB时，四边形PEMF是矩形，

证明如下：∵AD= 2AB，M是AD的中点，

∴AB=AM，CD=DM

∴∠AMB=∠ABM=45º，

∠DMC=∠DCM=45º，

∴∠BMC= 90º．

又∵PE⊥MC，PF_⊥MB，

∴∠MEP=∠MFP= 90º，

∴四边形PEMF是矩形．

(2)当P是BC的中点时，四边形PEMF是正方形，

证明知下：∵P是BC的中点，∴PB=PC．

又∵△MBC为等腰直角三角形，

∴点P在∠BMC的平分线上，

∴PE= PF，∴矩形PEMF是正方形．

13、(1)证明：∵△BCF和△ABD是等边三角形，

∴AB= BD，FB=CB，∠DBA=∠FBC=60。，

∴∠DBF=∠ABC，

∴△DBF≌△ABC(SAS)，∴DF=AC.

又∵△ACE是等边三角形，

∴AE=AC. ∴DF=AE.

同理，EF=AD．

∴四边形DAEF是平行四边形．

(2)解：当么BAC= 150a时，四边形DAEF是矩形；当AB=AC且么BAC≠60º时，四边形DAEF是菱形；当∠BAC=150º且AB=AC时，四边形DAEF是正方形．

探索与创新
14、证明：如图6-5-22所示．由剪切和拼接方法知AM⊥DE且△ADM≌△BDN．

∴∠N=∠AMD=90º，

∠NBD+∠ABC= 90º．

同理，∠F=∠AME=90º．

又∵DE//BC，BN//CF，

∴四边形NBCF是平行四边形，

∵∠F=90º，

∴四边形NBCF是矩形．

15、(1)证明：∵EF//BC，∴∠OEC=∠BCE.

又∵CE平分∠ACB，

∴∠OCE=∠BCE．

∴∠OEC= ∠OCE.

∴EO=OC.同理，OF=OC.

∴EO= OF.

(2)解：当点0是AC的中点时，四边形

  AECF是矩形，

∵EO=OF, OA=OC,

∴四边形AECF是平行四边形．

  又∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE+∠ACF= 90º，

即∠ECF= 90º.

∴□AECF是矩形．

16、(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C= 90º,AD=DC=BC.

∵BE=CF,

∴DF=CE．

∴△ADF≌△DCE(SAS).

∴AF=DE, ∠DAF=∠CDE.

∵∠CDE+∠ADE= 90º，

∴∠ADE+∠DAF=90º,

∴∠AGD=90º，即AF⊥DE.

(2)解：成立，

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC,

∠ADC=∠DCB= 90º.

∵BE=CF．∴DF= CE.

∴△ADF≌△DCE(SAS).

∴AF=DE, ∠DAF=∠CDE.

∵∠CDE+∠ADE= 90º，

∴∠ADE+∠DAF=90º，

∴∠AGD=90º，即AF⊥DE.

(3)解：四边形MNPQ是正方形．

由(2)细AF⊥DE且AF=DE.

∵M,N,P,Q分别为AE，EF, FD,AD的中点，

∴由三角形中位线知MN=QP=1/2AF,MQ=NP=1/2DE,

∴MN=QP=MQ=NP,

∴四边形MNPQ是菱形．

又由三角形中位线知MN//AF, NP//DE,

∵AF⊥DE,

∴MN⊥NP，

∴菱形MNPQ是正方形．