3.1.1 两角和与差的余弦教案和课堂实录

3.1.1　两角和与差的余弦 高中数学       人教B版2003课标版

1、知识与技能目标

通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、技能与方法目标

通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力

3、情感态度与价值观目标

使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、单位圆、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。本节内容是人教B版必修4第三章《三角恒等变换》第一节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。这节内容是高考的重点考点，是历年高考必考内容。同时处于高一学年度段的学生，已适应高中的学习，对知识的理解与掌握已有自己的方法。

重点：通过探索得到两角差与和的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导。对公式的熟练应用。

我们在初中时就知道 一些特殊角的三角函数值，例如 ，cos45°，cos30°，而cos15°=cos（45°-30°），那么大家猜想一下，cos15°等于多少呢？是不是等于 cos45°-cos30°呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！也就是cos（A-B）一般不等于cosA-cosB ，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）

（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）

做出单位圆，做倾斜角为α，β的两条射线，交单位圆于A，B两点，在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。则向量OA坐标为（cosα，sinα），向量OB坐标为（cosβ，sinβ）。所以向量OA与向量OB的乘积可以用坐标表示为cosαcosβ+sinαsinβ，又由向量的数量积公式可推得向量OA与向量OB的乘积又等于cos（α-β），所有推得两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。令-β=β，带入上述公式得两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

例1：利用差角余弦公式求cos15°

例2.已知sinα=4/5, α∈(π/2, π),cosβ=-5/13, β是第三象限角，求cos（α-β）的值

已知cosα=3/5, α∈(π/2, π),求cos（π/4-α）的值

化简求值（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°

（2）cos32°cos77°-sin32°cos167°

1.两角差的余弦公式及其特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。

3.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性。

P135第2题

3.1.1　两角和与差的余弦

3.1.1　两角和与差的余弦

我们在初中时就知道 一些特殊角的三角函数值，例如 ，cos45°，cos30°，而cos15°=cos（45°-30°），那么大家猜想一下，cos15°等于多少呢？是不是等于 cos45°-cos30°呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！也就是cos（A-B）一般不等于cosA-cosB ，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）

（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）

做出单位圆，做倾斜角为α，β的两条射线，交单位圆于A，B两点，在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。则向量OA坐标为（cosα，sinα），向量OB坐标为（cosβ，sinβ）。所以向量OA与向量OB的乘积可以用坐标表示为cosαcosβ+sinαsinβ，又由向量的数量积公式可推得向量OA与向量OB的乘积又等于cos（α-β），所有推得两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。令-β=β，带入上述公式得两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

例1：利用差角余弦公式求cos15°

例2.已知sinα=4/5, α∈(π/2, π),cosβ=-5/13, β是第三象限角，求cos（α-β）的值

已知cosα=3/5, α∈(π/2, π),求cos（π/4-α）的值

化简求值（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°

（2）cos32°cos77°-sin32°cos167°

1.两角差的余弦公式及其特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。

3.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性。

P135第2题