2.3.1 向量数量积的物理背景与定义第一课时教学实录

2.3.1　向量数量积的物理… 高中数学       人教B版2003课标版

1、知识与技能： 

（1）掌握平面向量数量积的定义与性质；

（2）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义； 

（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，能运用数量积表示两个向量的夹角。

2、过程与方法

（1）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神. 

（2）培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

3、情感态度与价值观

通过本节课的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，培养

学生学习数学的兴趣提高参与意识和合作精神。形成学数学、用数学

的思维和意识，培养学好数学的信心。

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（B版）第二章、第3节第1课时《向量数量积的物理背景与定义》，它是继向量的加、减法，数乘向量之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础（如两点间距离公式，正、余弦定理，点到直线的距离等），起承上启下的作用。

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。

重点：平面向量数量积的定义与性质

难点：对向量数量积定义与性质的理解和应用

在这我设计了三个问题

问题1设计意图 ：为推导向量在轴上的正射影的数量奠定知识基础.

问题2 设计意图：让学生明白本节课所要研究的数量积与数乘向量一样，都是向量的运算，但与数乘向量相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题3设计意图：激发学生的好奇心，产生探索的欲望。

由力做功的计算式，先引出向量的夹角与射影。

一、两个向量的夹角

活动一：给出讨论题目，让学生小组讨论，探究出两个向量夹角的概念。

再以小测试的方式由学生总结出两个向量的夹角需要强调的东西。

设计意图：让学生感受夹角概念的形成过程，体现了从特殊到一般的认知过程。

二、向量在轴上的正射影

由于这部分知识不好理解，在没改变实质的前提下对定义做了一下改动，在老师的引导下，引领学生完成这部分的学习，并配以习题,

活动二：例1、已知轴 ，（1）向量 ,求 在 上的数量 .(2) 向量 ,求 在 上的数量 .来巩固新学的知识。

三、向量的数量积

  1、定义：

然后再回到功的计算式，提出问题：如果把F、S推广到一般的向量 运算结果什么样？在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出

问题（1）向量的数量积是向量还是实数？

问题（2）什么时候为正？什么时候为负？

问题（3）两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？

活动三：学生小组讨论，探究出问题的答案。

通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与数乘向量的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质做好铺垫。

2、数量积的性质

采用合作交流的方式得出，并且强调性质的作用和应用的范围。

再配以相应的习题，强化学生的记忆，并让学生板书，规范解题过程。

3、数量积的几何意义

以合作交流的方式得出数量积的几何意义。

设计意图：不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量射影的关系，而且为以后空间向量解决点到面的距离奠定知识基础。

四、数量积的应用

数量积的物理应用

设计意图：数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。为此，我设计以上练习题，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义。 体现了数学源于实际生活，又应用于实际生活的理念。

数量积的数学应用

（1）求向量数量积

（2）求向量夹角

（3）判断三角形形状

（4）间接求一个向量在另一个向量方向上的数量

（1）向量的夹角与正射影的定义

（2）向量数量积的定义、性质、几何意义

（3）向量数量积的物理应用与数学应用

（4）数学思想：分类讨论、数形结合

（1）课本109页 练习A：1、2，练习B：1.

（2）研究性题：已知△ABC中， ，试用向量数量积的形式添加条件，使得△ABC为锐角三角形。

设计意图：（1）练习A  巩固数量积的定义与性质

练习B  理解向量数量积的几何意义 

（2）研究数量积的应用 

2.3.1　向量数量积的物理背景与定义

2.3.1　向量数量积的物理背景与定义

在这我设计了三个问题

问题1设计意图 ：为推导向量在轴上的正射影的数量奠定知识基础.

问题2 设计意图：让学生明白本节课所要研究的数量积与数乘向量一样，都是向量的运算，但与数乘向量相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题3设计意图：激发学生的好奇心，产生探索的欲望。

由力做功的计算式，先引出向量的夹角与射影。

一、两个向量的夹角

活动一：给出讨论题目，让学生小组讨论，探究出两个向量夹角的概念。

再以小测试的方式由学生总结出两个向量的夹角需要强调的东西。

设计意图：让学生感受夹角概念的形成过程，体现了从特殊到一般的认知过程。

二、向量在轴上的正射影

由于这部分知识不好理解，在没改变实质的前提下对定义做了一下改动，在老师的引导下，引领学生完成这部分的学习，并配以习题,

活动二：例1、已知轴 ，（1）向量 ,求 在 上的数量 .(2) 向量 ,求 在 上的数量 .来巩固新学的知识。

三、向量的数量积

  1、定义：

然后再回到功的计算式，提出问题：如果把F、S推广到一般的向量 运算结果什么样？在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出

问题（1）向量的数量积是向量还是实数？

问题（2）什么时候为正？什么时候为负？

问题（3）两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？

活动三：学生小组讨论，探究出问题的答案。

通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与数乘向量的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质做好铺垫。

2、数量积的性质

采用合作交流的方式得出，并且强调性质的作用和应用的范围。

再配以相应的习题，强化学生的记忆，并让学生板书，规范解题过程。

3、数量积的几何意义

以合作交流的方式得出数量积的几何意义。

设计意图：不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量射影的关系，而且为以后空间向量解决点到面的距离奠定知识基础。

四、数量积的应用

数量积的物理应用

设计意图：数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。为此，我设计以上练习题，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义。 体现了数学源于实际生活，又应用于实际生活的理念。

数量积的数学应用

（1）求向量数量积

（2）求向量夹角

（3）判断三角形形状

（4）间接求一个向量在另一个向量方向上的数量

（1）向量的夹角与正射影的定义

（2）向量数量积的定义、性质、几何意义

（3）向量数量积的物理应用与数学应用

（4）数学思想：分类讨论、数形结合

（1）课本109页 练习A：1、2，练习B：1.

（2）研究性题：已知△ABC中， ，试用向量数量积的形式添加条件，使得△ABC为锐角三角形。

设计意图：（1）练习A  巩固数量积的定义与性质

练习B  理解向量数量积的几何意义 

（2）研究数量积的应用