2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课堂实录【2】

2.3.1　向量数量积的物理… 高中数学       人教B版2003课标版

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，

并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一重要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

S

F

α

（1）力F所做的功W=     。

（2） 请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是  量，

F（力）是   量，

S（位移）是   量，

α是             。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

1、概念的抽象

在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ︱ ︱·︱ ︱cos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： · ，即： · = ︱ ︱·︱ ︱cos

     在强调记法和“规定”后  ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：

角 的范围

0°≤ <90°

=90°

0°< ≤180°

· 的符号

  通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

3、探究数量积的几何意义

这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题5。

如图，我们把│ │cos （│ │cos ）

叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，

记做：OB1=│ │cos

问题6：数量积的几何意义是什么？

这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。

4、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

问题7：

  （1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：

①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米；

 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做的功。 

             1、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问题8：

（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？

（2）比较︱ · ︱与︱ ︱×︱ ︱的大小，你有什么结论？

在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

   设 和b都是非零向量，则

  1、 ⊥       · =0

  2、当 与 同向时，︱ · ︱=︱ ︱︱ ︱；当 与 反向时，

︱ · ︱= -︱ ︱︱ ︱， 特别地， · =︱ ︱2或︱ ︱=

  3、︱ · ︱≤︱ ︱×︱ ︱

数量积的性质

     2、明晰数量积的性质

3、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

例1、（师生共同完成）已知︱ ︱=6，︱ ︱=4, 与 的夹角为60°，求

（ +2  ）·（ -3 ），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例2、（学生独立完成）对任意向量  ，b是否有以下结论：

（1）( + )2= 2+2 · + 2       

（2）( +  )·( - )= 2— 2

例3、（师生共同完成）已知︱ ︱=3，︱ ︱=4, 且  与 不共线，k为何值时，向量 +k  与 -k 互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积

解决有关问题，再安排如下练习：

 下列两个命题正确吗？为什么？

①、若 ≠0，则对任一非零向量 ，有 · ≠0．

②、若 ≠0， · ＝ · ，则 ＝ ．

2、已知△ABC中， = , = ，当 ·  <0或 · ＝0时，试判断△ABC的形状。

安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，

通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

    通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下

一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知 与 都是非零向量，且 +3  与7  -5 垂直， -4 与 7 -2 垂直

求 与 的夹角。

2.3.1　向量数量积的物理背景与定义

2.3.1　向量数量积的物理背景与定义

正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一重要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

S

F

α

（1）力F所做的功W=     。

（2） 请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是  量，

F（力）是   量，

S（位移）是   量，

α是             。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

1、概念的抽象

在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ︱ ︱·︱ ︱cos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： · ，即： · = ︱ ︱·︱ ︱cos

     在强调记法和“规定”后  ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：

角 的范围

0°≤ <90°

=90°

0°< ≤180°

· 的符号

  通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

3、探究数量积的几何意义

这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题5。

如图，我们把│ │cos （│ │cos ）

叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，

记做：OB1=│ │cos

问题6：数量积的几何意义是什么？

这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。

4、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

问题7：

  （1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：

①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米；

 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做的功。 

             1、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问题8：

（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？

（2）比较︱ · ︱与︱ ︱×︱ ︱的大小，你有什么结论？

在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

   设 和b都是非零向量，则

  1、 ⊥       · =0

  2、当 与 同向时，︱ · ︱=︱ ︱︱ ︱；当 与 反向时，

︱ · ︱= -︱ ︱︱ ︱， 特别地， · =︱ ︱2或︱ ︱=

  3、︱ · ︱≤︱ ︱×︱ ︱

数量积的性质

     2、明晰数量积的性质

3、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

例1、（师生共同完成）已知︱ ︱=6，︱ ︱=4, 与 的夹角为60°，求

（ +2  ）·（ -3 ），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例2、（学生独立完成）对任意向量  ，b是否有以下结论：

（1）( + )2= 2+2 · + 2       

（2）( +  )·( - )= 2— 2

例3、（师生共同完成）已知︱ ︱=3，︱ ︱=4, 且  与 不共线，k为何值时，向量 +k  与 -k 互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积

解决有关问题，再安排如下练习：

 下列两个命题正确吗？为什么？

①、若 ≠0，则对任一非零向量 ，有 · ≠0．

②、若 ≠0， · ＝ · ，则 ＝ ．

2、已知△ABC中， = , = ，当 ·  <0或 · ＝0时，试判断△ABC的形状。

安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，

通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

    通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下

一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知 与 都是非零向量，且 +3  与7  -5 垂直， -4 与 7 -2 垂直

求 与 的夹角。