3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2公开课教案（教学设计）

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；

  (2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；

  (3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。

在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考查了学生数形结合、转化化归等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛，是教育学生学好数学和用好数学的好素材。

重点：探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式 的代数结构及其使用条件。（a>0,b>0, 当且仅当a＝b时，等号成立）

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；

  (2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；

  (3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。

重点：探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式 的代数结构及其使用条件。（a>0,b>0, 当且仅当a＝b时，等号成立）

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）.

创设情景，提出问题；

下学期学校将全面推进课程改革，根据生物老师的建议：决定在学术厅外面的空地上开发一块100m2的矩形植物园，并用篱笆围起来，你认为怎样设计使用篱笆最短，最短为多少？

大家通过举例或实验得出的，我们可以把这个问题抽象成数学问题：设矩形的长为am,宽为bm,则ab=100,求2(a+b)的最小值。你能解决这个问题吗？其实有一个神秘的工具，大家想知道吗？今天我们就一起来探究这个神秘的工具：基本不等式，首先请大家熟悉本节课的目标：

什么是基本不等式呢？请大家看到大屏幕：

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据三国时期吴国数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表我国人民热情好客。基本不等式就藏在这个会标中，请问这个会标中包含我们熟悉的哪些几何图形：

[问]你能从面积的角度在会标中找出一些相等关系或不等关系吗？

动手试一试：请把正方形纸片裁剪成以正方形的边长为斜边的4个全等的直角三角形

这四个全等的直角三角形的面积与原来正方形的面积有什么关系呢？ 学生在黑板上展示，大家从图形上有了直观感受了，下面请大家从具体的数来说明一下：

问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,

则AB=　     则正方形的面积为S=　　　。

问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=2ab

问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s > s’,即

问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？a=b时

问5：当a,b为任意实数时， 还成立吗？你能给出证明吗？

结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab

      当且仅当a=b时，等号成立，这就是我们今天学习的重要不等式

思考:如果用      去替换              中的    ,

  能得到什么结论?a,b 必须要满足什么条件?（a≥0,b≥0）当a=0,b=0,就没有研究的必要了，这里我们只研究a>0,b>0的情况

答案： 。（符号语言）

探究基本不等式证明方法：你能给出证明吗？（作差法）分析法，从代数方法找到了这个工具，不等式中两个重要思想方法：分类讨论，数形结合，那么我们是否可以从图形中去理解呢

请看书上89页的探究（探究基本不等式的几何意义）

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点， AC=a,CB=b，过C作CD垂直于AB，连接AD、BD，你能用a,b表示CD吗？提示（找相似三角形）

几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

我们常把 叫做算术平均数， 叫做几何平均数，

基本不等式可以叙述为：几何平均数小于等于算术平均数(代数意义)

从数列角度看: 可以看成两个正数的_等差中项 可以看成两个正数的_等比中项

那么基本不等式可以叙述为__两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

 [问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即 ；仅当a=b时，取等号，即 。

重要不等式：

基本不等式：

（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

变式：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则 2（ x + y ）= 36 ,  x + y  = 18

矩形菜园的面积为xym2                        =18/2=9，得xy≤81

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2

通过上面两个实例得出以下结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

四、探究归纳

1、你想对自己说你掌握了哪些知识和数学思想方法？

2、你想对同学说你有什么温馨提示？

3、你想对老师说你还有什么疑惑？

当x≥2时x+1/x的最大值还是2吗？这个问题留给大家下去后思考？

②当 时，由于 ，当且仅当 时，即x=1时，等号成立。所以函数 的最小值为2；

③当 时，有 ；所以函数 在 的最小值为4。

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式 成立的条件 ，及当且仅当 时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；

  (2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；

  (3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。

重点：探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式 的代数结构及其使用条件。（a>0,b>0, 当且仅当a＝b时，等号成立）

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）.

创设情景，提出问题；

下学期学校将全面推进课程改革，根据生物老师的建议：决定在学术厅外面的空地上开发一块100m2的矩形植物园，并用篱笆围起来，你认为怎样设计使用篱笆最短，最短为多少？

大家通过举例或实验得出的，我们可以把这个问题抽象成数学问题：设矩形的长为am,宽为bm,则ab=100,求2(a+b)的最小值。你能解决这个问题吗？其实有一个神秘的工具，大家想知道吗？今天我们就一起来探究这个神秘的工具：基本不等式，首先请大家熟悉本节课的目标：

什么是基本不等式呢？请大家看到大屏幕：

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据三国时期吴国数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表我国人民热情好客。基本不等式就藏在这个会标中，请问这个会标中包含我们熟悉的哪些几何图形：

[问]你能从面积的角度在会标中找出一些相等关系或不等关系吗？

动手试一试：请把正方形纸片裁剪成以正方形的边长为斜边的4个全等的直角三角形

这四个全等的直角三角形的面积与原来正方形的面积有什么关系呢？ 学生在黑板上展示，大家从图形上有了直观感受了，下面请大家从具体的数来说明一下：

问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,

则AB=　     则正方形的面积为S=　　　。

问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=2ab

问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s > s’,即

问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？a=b时

问5：当a,b为任意实数时， 还成立吗？你能给出证明吗？

结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab

      当且仅当a=b时，等号成立，这就是我们今天学习的重要不等式

思考:如果用      去替换              中的    ,

  能得到什么结论?a,b 必须要满足什么条件?（a≥0,b≥0）当a=0,b=0,就没有研究的必要了，这里我们只研究a>0,b>0的情况

答案： 。（符号语言）

探究基本不等式证明方法：你能给出证明吗？（作差法）分析法，从代数方法找到了这个工具，不等式中两个重要思想方法：分类讨论，数形结合，那么我们是否可以从图形中去理解呢

请看书上89页的探究（探究基本不等式的几何意义）

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点， AC=a,CB=b，过C作CD垂直于AB，连接AD、BD，你能用a,b表示CD吗？提示（找相似三角形）

几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

我们常把 叫做算术平均数， 叫做几何平均数，

基本不等式可以叙述为：几何平均数小于等于算术平均数(代数意义)

从数列角度看: 可以看成两个正数的_等差中项 可以看成两个正数的_等比中项

那么基本不等式可以叙述为__两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

 [问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即 ；仅当a=b时，取等号，即 。

重要不等式：

基本不等式：

（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

变式：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则 2（ x + y ）= 36 ,  x + y  = 18

矩形菜园的面积为xym2                        =18/2=9，得xy≤81

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2

通过上面两个实例得出以下结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

四、探究归纳

1、你想对自己说你掌握了哪些知识和数学思想方法？

2、你想对同学说你有什么温馨提示？

3、你想对老师说你还有什么疑惑？

当x≥2时x+1/x的最大值还是2吗？这个问题留给大家下去后思考？

②当 时，由于 ，当且仅当 时，即x=1时，等号成立。所以函数 的最小值为2；

③当 时，有 ；所以函数 在 的最小值为4。

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式 成立的条件 ，及当且仅当 时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

• 优点:

  教学设计较好

• 缺点:

  学生活动设计较少