3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2ppt专用说课稿内容

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

1. 理解基本不等式的内容及证明方法。

2. 掌握基本不等式及变形的应用。

3. 熟练运用基本不等式比较实数的大小及简单的最大值最小值的求法。

4. 能运用基本不等式证明简单的不等式和解决生活中的问题。

5. 了解算术平均数、几何平均数、求最值方法、证明方法。

本节课是必修教材最后一节内容，是对必修教材涉及知识和方法的总结和运用。学生学完必修教材后掌握了必需的数学知识和基本方法，在此基础上加以归纳总结和灵活运用,使学生在运用数学知识和方法上面有较全面的认识和提高。学生体会学习的成功与进步，激发学生的学习兴趣。

1. 重要不等式

  如果  a，b∈ R，那么a² +b² ≥ 2ab  （当且仅当a=b时取“=”）

2. 基本不等式

√ab ≤a+b2  （①，a> 0，b>0 .②当且仅当a=b时取等号）

3. 用基本不等式求最值 （一正 、二定、 三相等）

（1）设x，y∈R⁺ ，若x+y=s（和s为定值），则 当x=y 时，积xy有最大值为S²4   

（2）设x，y∈R⁺ ，若x·y=p（积p为定值），则 当x=y 时，和x+y有最小值2√p 

4. 了解基本数学方法.（形数结合、分析法、综合法、换元法、几何意义、特殊位置分析）

1．理解基本不等式的内容及证明方法。

2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小。

3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式。

1. 重要不等式

     如果 a，b∈ R，那么a² +b²  ≥ 2ab（当且仅当a=b时取“=”）

2. 基本不等式

√ab  ≤a+b2    （①，a> 0，b>0 .②当且仅当a=b时取“=”）

1. 基本不等式的变形应用

      ⑴  ab≤（a+b2  ）²≤ a²+b²2    (  a,b∈R )

      ⑵ ba +ab ≥2 (ba +ab ≥2 ​(a,b同号) 

      ⑶ 当ab>0时，ba +ab ≥2 ；当ab< 0时，ba +ab ≤−2 ；

      ⑷ a²+b²+c²≥ ab+bc+ac（a，b，c∈R ）

2 . 不等量代换（等式与不等式的互化）

3.  了解基本数学方法（形数结合、分析法、综合法、换元法、几何意义、特殊位置分析）

1.  比较 :2√6       5

2.  a²  与1的算数平均数与几何平均数相等时，a =______,若与等比中项相等时，a=______

3. 利用教材说明：两个不等式的证明方法分别有:____、____、____、____(说明“=”成立的几何意义)        你在学习过程中用过吗？(形数结合、分析法、综合法、换元法、 几何意义，极限位置分析）

问题1.  利用基本不等式、及变形形式证明简单的不等式.

示例1.  证明：（1）已知a、b、c∈R   求证 ：a²+b²+c² ≥ ab+bc+ac 

           （2） 已知：a、b、c∈R⁺   且 a+b+c=1   求证：1a +1b +1c ≥9   

问题2.   不等量代换 、等式化为不等式.

示例2.   已知: x、y∈ ​ R⁺ 且 x+4y+5=xy   当xy取最小值时, 求x+y 值.

1.  已知x、y∈ R⁺  且 2x +1y =1 若x+2y ‍≥ m²  +2m 恒成立，求 m的范围.

2.  小张从甲地到乙地,往返时速度分别为a、b (a<b) 全程的平均数度为v，则a、v 、√ab 、a+b2  ​ 的 大小关系:__________________.（取a=1、b=2 验证）

 消常数（1的代换）、不等量代换(等式与不等式的互化）、 恒成立、不等式应用、取特殊值比大小。

 形数结合、换元法、分析法、综合法、不等量代换、列方程（组）、特殊化、扩展。

1. 已知：a、b∈  R⁺ 且a+b=2 则下式成立的是____________.

     A  ab ≤12      B  a²+b²≥2    C   ab ≥12     D   a²+b²  = 3

2.  已知a、b ∈ R⁺ 且 a≠ b，  P=a+b2  、   Q= √ab  、  M=√a²+b²2  

    A  P>Q>M      B  Q>P>M      C  P>M>Q      D  M>P>Q

3. 已知：a、b ∈ R⁺  满足 a+b≤4 则有_________.

    A 1ab  ≥2      B   1a +1b ≥1   C √ab  ≥ 2     D  1a²+b²  ≤14  

4. 若a>b>1 且 P= √lga√lgb‍     Q=12  (  lga+lgb‍  )      R=lg‍a+b2   则有_____.

   A   R<P<Q     B  P<R<Q     C   Q<P<R    D  P<Q<R

5. 若 a>2 时  P=a + 1a−2    且  Q=  2^−a2+4a−2  则 P与Q的大小________.

   A    P>Q     B  P<Q      C  P≥ Q       D  P≤ Q

1. 下列各式中:  (1) x²  +1≥2|x|   (2) sinx + 1sinx ≥2   (3)  lg‍(x² +14 ) > lg x   ( x>0）

  (5) (x+y2‍ )²  ≥xy   (6)  |x-y| > x-y  中成立的是____________.

2. 已知：正数 x、y 满足 x y = 36 , 则 x+y 与 12 的大小关系______________.

3.  已知 ：x + y + 2 = x y    且  x、y  是正数，则 x+y 的最小值_______________.

4. （思考） 已知a、b、c∈ R  求证： a²+b²+c² ≥13 （a+b+c）² ≥ab+bc+ac 

活动1：1.  <   2.  ±1、±1   3.  见题目

活动2：1. 提示：（1）重要不等式、综合法    （2）1的代换、基本不等式

            2. 提示：∵x+4y≥4√xy  当x=4y---------(1) 时、取“=”​ 

      ∴ 原不等式可化为：√xy² − 4√xy −5≥0 

          解得：√xy ≥ 5   (换元、解二次不等式、检验根）

           即    xy≥25   ,当 xy=25-----------(2)时、取最小值

            由(1)、(2) 组成方程组解得：{^x=10_y=52     ∴ ​x+y=  252  ​         

活动3：1提示：∵ （x + y ) (2x +1y  ) = 4 + xy +yx  ≥6

∴ 原不等式可化为：m²+2m− 6≤0

              解得：m∈ [−4，2 ]   (1的代换、恒成立、解二次不等式）

            2.  a<v<√ab<a+b2 <b  (取a=1、b=2验证）

活动6： 1B.  2D.  3B.  4D.  5A.

​活动7： 1. （1）、（5）.    

             2.    x+y≥ 12

             3.    4

            4.  分析法、重要不等式.

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                                                                                          教与学案------设计人：申宝桐

1. 熟练掌握基本不等式及变形形式的应用。

2. 会用基本不等式解决简单的最大（最小）值问题。

3. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题。

​1. 用基本不等式求最值。

2. 用基本不等式解决生活中实际问题。

1.  实际问题转化为基本不等式模型求最值       [  审---列---解----验（答） ]

2.  不等式成立的条件(一正、二定、三相等），利用 “=” 列方程（组），求最值。

3. 了解 二次函数、三角函数、线性规划、基本不等式、函数单调性、特殊位置分析（特殊值)等方法      求最值的区别

1.  函数 y = x+1x  ，当x>0 时, y的最小值_____.当x∈[1,2] 时 ，y的最大值___.

     若， 函数 y=a^x + a^-x 取最小值_______时，  x=_______.

2.  求 y=  x + 1x  的值域是________________.

3.  已知: P, S, x , y ∈R⁺ 且  x+y=P (p定值） 、  x y = S (s定值）

  (1)  当 x+y = P（p 已知）  时， 则 x ·y  的最大值_____，此时_______.

  (2)  当 x y = S （s 已知）  时， 则 x+y 的最小值_____，此时________.

问题1：基本不等式： √ab≤a+b2   ( a,b∈R⁺) 

       （1）成立的条件________（2）“ = ”成立的条件是_________（3）取得最值条件_______.

示例1：课本99页. 例1

问题2：基本不等式应用时应注意：和与积为定值、及相互转化、“=”成立的条件.

示例2：课本99页. 例2

课本100页, 练习1.     1,  2,  3,  4

                5.  函数y=x +1x−3 (x>3 ) 当 x =_____时, y的最小值是________.

1. 实际应用转化为基本不等式模型--求最值---区分已知与未知.

2. 审题--建模（列式）--解模--验证（作答）

1. 我们学习过的求最值的方法：(1)二次函数 （2）三角函数 （3）线性规划 （4）基本不等式 

（5）图形特殊位置分析（特殊值验证）等。

2. 区分已知与未知、用已知表示未知，数--形--数--模型的转化（空间形式与数量关系的转化）。

课本100页习题   A组 1,  2,  3, 4.

1.  若 a、b ∈R⁺则, ( a + b )(1a +1b  ​)的最小值是________

2.  若 a、b∈R  满足a+b=4 则 3^a +3^b 的最小值是_________.

3.  若 x>1、 y>1 且 lg‍ x + lg y = 6 则 lg x · lg y 的最大值是________.

4.  若 x>0 且 x² +12 y² =1  则 x ​√1+y²  的最大值___________

5.  B组 1、2

活动1：  1. 最小值2、最大值52‍  ；最小值2  此时x=0.

               2.（−∞ ，2]∪ [2,+∞)

               3.  14 ‍P² 、此时   x=y=12 P‍  ;      2‍√s、  此时 x=y=‍√s

活动2：  1.  （1）正值、（2）a=b 、（3） 和或积是定值

              示例1：见课本99页例1  、示例2：见课本99页例2

活动3：   提示：1、2、3、4、参考课本 、5 、 x=4 、最小值是5

活动6：  略

活动7：  1.     4

               2.    18

               3.      9   

               4.    34 √2‍ .

                5.    略.        

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3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

1．理解基本不等式的内容及证明方法。

2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小。

3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式。

1. 重要不等式

     如果 a，b∈ R，那么a² +b²  ≥ 2ab（当且仅当a=b时取“=”）

2. 基本不等式

√ab  ≤a+b2    （①，a> 0，b>0 .②当且仅当a=b时取“=”）

1. 基本不等式的变形应用

      ⑴  ab≤（a+b2  ）²≤ a²+b²2    (  a,b∈R )

      ⑵ ba +ab ≥2 (ba +ab ≥2 ​(a,b同号) 

      ⑶ 当ab>0时，ba +ab ≥2 ；当ab< 0时，ba +ab ≤−2 ；

      ⑷ a²+b²+c²≥ ab+bc+ac（a，b，c∈R ）

2 . 不等量代换（等式与不等式的互化）

3.  了解基本数学方法（形数结合、分析法、综合法、换元法、几何意义、特殊位置分析）

1.  比较 :2√6       5

2.  a²  与1的算数平均数与几何平均数相等时，a =______,若与等比中项相等时，a=______

3. 利用教材说明：两个不等式的证明方法分别有:____、____、____、____(说明“=”成立的几何意义)        你在学习过程中用过吗？(形数结合、分析法、综合法、换元法、 几何意义，极限位置分析）

问题1.  利用基本不等式、及变形形式证明简单的不等式.

示例1.  证明：（1）已知a、b、c∈R   求证 ：a²+b²+c² ≥ ab+bc+ac 

           （2） 已知：a、b、c∈R⁺   且 a+b+c=1   求证：1a +1b +1c ≥9   

问题2.   不等量代换 、等式化为不等式.

示例2.   已知: x、y∈ ​ R⁺ 且 x+4y+5=xy   当xy取最小值时, 求x+y 值.

1.  已知x、y∈ R⁺  且 2x +1y =1 若x+2y ‍≥ m²  +2m 恒成立，求 m的范围.

2.  小张从甲地到乙地,往返时速度分别为a、b (a<b) 全程的平均数度为v，则a、v 、√ab 、a+b2  ​ 的 大小关系:__________________.（取a=1、b=2 验证）

 消常数（1的代换）、不等量代换(等式与不等式的互化）、 恒成立、不等式应用、取特殊值比大小。

 形数结合、换元法、分析法、综合法、不等量代换、列方程（组）、特殊化、扩展。

1. 已知：a、b∈  R⁺ 且a+b=2 则下式成立的是____________.

     A  ab ≤12      B  a²+b²≥2    C   ab ≥12     D   a²+b²  = 3

2.  已知a、b ∈ R⁺ 且 a≠ b，  P=a+b2  、   Q= √ab  、  M=√a²+b²2  

    A  P>Q>M      B  Q>P>M      C  P>M>Q      D  M>P>Q

3. 已知：a、b ∈ R⁺  满足 a+b≤4 则有_________.

    A 1ab  ≥2      B   1a +1b ≥1   C √ab  ≥ 2     D  1a²+b²  ≤14  

4. 若a>b>1 且 P= √lga√lgb‍     Q=12  (  lga+lgb‍  )      R=lg‍a+b2   则有_____.

   A   R<P<Q     B  P<R<Q     C   Q<P<R    D  P<Q<R

5. 若 a>2 时  P=a + 1a−2    且  Q=  2^−a2+4a−2  则 P与Q的大小________.

   A    P>Q     B  P<Q      C  P≥ Q       D  P≤ Q

1. 下列各式中:  (1) x²  +1≥2|x|   (2) sinx + 1sinx ≥2   (3)  lg‍(x² +14 ) > lg x   ( x>0）

  (5) (x+y2‍ )²  ≥xy   (6)  |x-y| > x-y  中成立的是____________.

2. 已知：正数 x、y 满足 x y = 36 , 则 x+y 与 12 的大小关系______________.

3.  已知 ：x + y + 2 = x y    且  x、y  是正数，则 x+y 的最小值_______________.

4. （思考） 已知a、b、c∈ R  求证： a²+b²+c² ≥13 （a+b+c）² ≥ab+bc+ac 

活动1：1.  <   2.  ±1、±1   3.  见题目

活动2：1. 提示：（1）重要不等式、综合法    （2）1的代换、基本不等式

            2. 提示：∵x+4y≥4√xy  当x=4y---------(1) 时、取“=”​ 

      ∴ 原不等式可化为：√xy² − 4√xy −5≥0 

          解得：√xy ≥ 5   (换元、解二次不等式、检验根）

           即    xy≥25   ,当 xy=25-----------(2)时、取最小值

            由(1)、(2) 组成方程组解得：{^x=10_y=52     ∴ ​x+y=  252  ​         

活动3：1提示：∵ （x + y ) (2x +1y  ) = 4 + xy +yx  ≥6

∴ 原不等式可化为：m²+2m− 6≤0

              解得：m∈ [−4，2 ]   (1的代换、恒成立、解二次不等式）

            2.  a<v<√ab<a+b2 <b  (取a=1、b=2验证）

活动6： 1B.  2D.  3B.  4D.  5A.

​活动7： 1. （1）、（5）.    

             2.    x+y≥ 12

             3.    4

            4.  分析法、重要不等式.

                                         先学后教、高效课堂

                                                                                          教与学案------设计人：申宝桐