2.1.2 函数的表示方法优秀教案案例

2.1.2 函数的表示方法 高中数学       人教B版2003课标版

教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．

1. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．

3. 能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．

画简单函数的图像

分段函数的解析式求法及其图像的作法．

（1）复习初中三种函数的表示方法．

（2）学生回答函数三种表示方法的定义．

1）复习与比较

例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．

（2）引导学生分析讨论

①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？

②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？

函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．

采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；

采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；

采用列表法的条件：函数值的对应清楚．

函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．

例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：

表7-1

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

王　伟

98

87

91

92

88

95

张　城

90

76

88

75

86

80

赵　磊

68

65

73

72

75

82

班级平均分

88.2

78.3

85.4

80.3

75.7

82.6

请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析．

学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规律，用何种方法表示函数？

注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．

初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．

y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数 而分段函数的图像只要分段作出即可．

1. 作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．

2. 作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．

3. 若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．

（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．

学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？

小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．

（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．

（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．

1. 设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．

1：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；

2：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；

3：三种表示函数的方法的相互转化

2.1.2 函数的表示方法

2.1.2 函数的表示方法

1. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．

3. 能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．

画简单函数的图像

分段函数的解析式求法及其图像的作法．

（1）复习初中三种函数的表示方法．

（2）学生回答函数三种表示方法的定义．

1）复习与比较

例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．

（2）引导学生分析讨论

①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？

②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？

函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．

采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；

采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；

采用列表法的条件：函数值的对应清楚．

函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．

例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：

表7-1

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

王　伟

98

87

91

92

88

95

张　城

90

76

88

75

86

80

赵　磊

68

65

73

72

75

82

班级平均分

88.2

78.3

85.4

80.3

75.7

82.6

请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析．

学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规律，用何种方法表示函数？

注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．

初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．

y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数 而分段函数的图像只要分段作出即可．

1. 作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．

2. 作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．

3. 若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．

（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．

学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？

小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．

（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．

（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．

1. 设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．

1：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；

2：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；

3：三种表示函数的方法的相互转化