3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2课堂实录【1】

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能：

(1) 师生共同探究基本不等式；

(2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；

(3) 会简单运用基本不等式。

2、过程与方法：

通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。

3、情感、态度与价值观：

 (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；

(2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。

在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。

授课班级为高2017级10班，该班学生整体基础扎实、部分学生思维活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。

教学重点：

（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；

（2）运用基本不等式解决实际问题。

教学难点：基本不等式的运用。

重、难点解决的方法策略：

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

情景：（生活中实际问题引入）

师：买一辆新车，使用多少年最合算，这是实际生活中必须考虑的现实问题。

1. 拼图实验：用四个全等的直角三角形拼成一幅弦图.

利用四个全等的直角三角板，拼成勾股弦图。

2. 请观察拼图结果，从中逐步探究得到重要不等式?

由拼图（1）可知：

设直角三角形的两条边长为a,b,那么正方形                                                         的边长为 .这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为 .由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积，我们就得到了一个不等式

由拼图（2）得到等式 ，

综上可得重要不等式：

，当 时等号成立。

3. 探讨不等式 的代数证明

证明： .

由证明过程可知：（1） ，不等式 恒成立.

（2） 时取等号.

4. Flash动画辅助学生理解等号成立的条件.

哪么，是否仅当 时等号成立呢？……我们来观察一组动画，找到其中的答

案.由动画可知：重要不等式： ，当且仅当 时等号成立。

5.换元法探索与证明基本不等式 .

特别地，如果 ，我们用 、 分别代替a、b，可得：

得到基本不等式： .

通常我们把上式写作： .

提问：等号何时成立呢？

答：当且仅当a=b时取等号.

5.熟悉基本不等式

提问：比较它们成立的条件，有什么不同点?

答：重要不等式 成立条件： ；

    基本不等式 成立条件： .

6. 课堂练习：

1. 下列不等式成立的是（ B ）

7. 例题分析：

例1：运用基本不等式判断下列说法正确的是____（1）____

例题提炼口诀：

一正：

二定：

三相等：当且仅当a=b时，等号成立.

8. 课堂练习：

9. 基本不等式解决实际问题：

课题引入中的汽车问题：近年随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2005年初翻了一番.某种汽车,购车费是1O万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0．9万元，年维修费第一年是0．2万元,以后逐年递增0．2万元，汽车使用的时间x(年)与年平均费用y(万元)，满足函数关系式: 。

这种汽车使用多少年时最合算?我们有以下几种方案：

解：

当且仅当 即 时，它的平均费用最少.

10. 例题分析：

例2：陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菊花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？

11. 课堂小结：

重要不等式 成立条件： ；

基本不等式 成立条件： .

请大家以两个不等式为线索，整理今天所学的知识。若有疑问，可以与同学讨论或举手提问.

课后作业：

1．仔细阅读教材97页至100页，找出你困惑的地方，与同学或老师交流；

2．课时训练    3.4 基本不等式.

板书设计：

§3.4 基本不等式

一、重要不等式：  

当且仅当a=b时，等号成立.

二、基本不等式：

当且仅当a=b时，等号成立.

(主板书)

（电子白板）

例题与课题练习规范解答

(副板书)

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

情景：（生活中实际问题引入）

师：买一辆新车，使用多少年最合算，这是实际生活中必须考虑的现实问题。

1. 拼图实验：用四个全等的直角三角形拼成一幅弦图.

利用四个全等的直角三角板，拼成勾股弦图。

2. 请观察拼图结果，从中逐步探究得到重要不等式?

由拼图（1）可知：

设直角三角形的两条边长为a,b,那么正方形                                                         的边长为 .这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为 .由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积，我们就得到了一个不等式

由拼图（2）得到等式 ，

综上可得重要不等式：

，当 时等号成立。

3. 探讨不等式 的代数证明

证明： .

由证明过程可知：（1） ，不等式 恒成立.

（2） 时取等号.

4. Flash动画辅助学生理解等号成立的条件.

哪么，是否仅当 时等号成立呢？……我们来观察一组动画，找到其中的答

案.由动画可知：重要不等式： ，当且仅当 时等号成立。

5.换元法探索与证明基本不等式 .

特别地，如果 ，我们用 、 分别代替a、b，可得：

得到基本不等式： .

通常我们把上式写作： .

提问：等号何时成立呢？

答：当且仅当a=b时取等号.

5.熟悉基本不等式

提问：比较它们成立的条件，有什么不同点?

答：重要不等式 成立条件： ；

    基本不等式 成立条件： .

6. 课堂练习：

1. 下列不等式成立的是（ B ）

7. 例题分析：

例1：运用基本不等式判断下列说法正确的是____（1）____

例题提炼口诀：

一正：

二定：

三相等：当且仅当a=b时，等号成立.

8. 课堂练习：

9. 基本不等式解决实际问题：

课题引入中的汽车问题：近年随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2005年初翻了一番.某种汽车,购车费是1O万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0．9万元，年维修费第一年是0．2万元,以后逐年递增0．2万元，汽车使用的时间x(年)与年平均费用y(万元)，满足函数关系式: 。

这种汽车使用多少年时最合算?我们有以下几种方案：

解：

当且仅当 即 时，它的平均费用最少.

10. 例题分析：

例2：陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菊花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？

11. 课堂小结：

重要不等式 成立条件： ；

基本不等式 成立条件： .

请大家以两个不等式为线索，整理今天所学的知识。若有疑问，可以与同学讨论或举手提问.

课后作业：

1．仔细阅读教材97页至100页，找出你困惑的地方，与同学或老师交流；

2．课时训练    3.4 基本不等式.

板书设计：

§3.4 基本不等式

一、重要不等式：  

当且仅当a=b时，等号成立.

二、基本不等式：

当且仅当a=b时，等号成立.

(主板书)

（电子白板）

例题与课题练习规范解答

(副板书)