3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2ppt专用说课稿内容

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1.探索并了解基本不等式的证明过程

2.体会证明不等式的基本思想方法

3.会用基本不等式解决简单的最值问题

1.学生的基础普遍比较差

2.学习氛围不浓，学习兴趣不大

1.基本不等式的理解

2.基本不等式的应用

教  学  过  程

环节

教 学 活 动

设计说明

创

设

情

境

激

发

兴

趣

教师展示第24届北京国际数学家大会的会标，并作简单的介绍：

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会1897年在瑞士苏黎世举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已成为最高水平的全球性数学科学学术会议，一般在发达国家举办，大会设立的菲尔茨奖由一枚纯金奖章和一笔奖金组成，奖励40岁以下的数学家，每次奖励不超过四人。这项奖励相当于数学界的诺贝尔奖。1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获菲尔茨奖，成为获此荣誉的第一位华人。2006年8月第二位华人澳大利亚数学家陶哲轩获此殊荣。

2002年8月20日在北京召开的第24届国际数学家大会是第一次在发展中国家举办。大会的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客，也代表着发展与继承。

通过介绍国际数学家大会、大会所设立的菲尔茨奖、华人获奖情况、2002年8月北京成功举办国际数学家大会、以及大会的会标、赵爽的弦图等情况，让学生感受到我国的

创

设

情

境

激

发

兴

趣

赵爽字君卿，生卒年代不详。可能是东汉末至三国时代吴国人，研究过张衡的天文数学著作和刘洪的《乾象历》，以及《九章算术》，深入研究了《周髀算经》为此写了序言，并作了详细注释。

赵爽创制的“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子： 4(ab/2)+(b-a)2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2 亦即：c= 。这个证明别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

国力在增强、科技在进步、社会在发展，民族在兴盛，以此激发学生民族自豪感和爱国热情，激发学生为振兴中华、发奋学习的学习热情。

按

部

就

班

合

情

推

理

问题提出：

师：请同学们根据赵爽的弦图，回答下面的问题：

1.有几个直角三角形？

2.如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，那么正方形的边长是多少？

3.每一个直角三角形的面积是多少？它们的面积和是多少？

4.以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？

5．这些直角三角形的面积的和与正方形的面积有何关系？

（由学生探究、讨论，归纳出定理）

定理：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab。（当且仅当a=b时取等号）

师：利用四个直角三角形的面积的和小于等于正方形的面积，容易证出上述定理，体现出利用数形结合的思想与方法解题的先进性，运用过去所学的知识，你能够证明这个定理吗？

生：可以利用比较法，a2+b2-2ab=(a-b)2≥0就可以证明出上述定理！

师：对于上述定理，注意a,b∈R这一条件，如果a，b都是正数，将a用 ，b用 ，代入上述定理的解析式中，你会得到怎样的结论？

生： 当且仅当a=b时取等号。

师：这个表达式中的隐含条件是什么？

生：a，b都是正数，在a=b的时候等号成立。

（教师用投影仪给出定理：如果a＞0，b＞0，那么 当且仅当a=b时取等号，并要求学生尝试证明）

生：利用前面的定理，用 替换原来的a，b。

师：这样证明是可以的,还能用其他的方法证出这个定理吗？

师生共同分析：

要证 成立，只需证： ≥0成立。

即证 ≥0，而 ≥0显然成立，当且仅当a=b时等号成立。

（教师说明这种证明方法叫分析法，再说明综合法和比较法证明不等式的方法）

师 ： 叫两正数a，b的算术平均数； 叫两正数a，b的几何平均数，上述定理的含义是什么？

生：两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数。

借助学生学习的热情，承接前面给出的赵爽的弦图，继续深入研究，在老师有效地引导下，学生会按部就班地推证出所要推证的结论，既体验了知识发生、发展的过程，同时也感悟了赵爽的弦图的精妙，以及利用数形结合的思想解题优越性。分析法的引入，对训练学生的数学思维，提高学生思维品质很有帮助， 综合法与比较法的介绍，对完善学生的知识结构，提高学生的解题能力是非常必要的。介绍算术平均数与几何平均数可以提高学生的数学理论水平。

发

散

思

维

探

究

创

新

探究活动一：

师：你能用几何方法证明吗？

生：在圆中做一直径AB，在圆周上任取一点C（异于点A，B），则∠ACB为直角。过C作CD⊥AB于D。设|AD|=a,|DB|=b，则|CD| = 由圆的性质可知：   。

师：证明过程说明了定理的几何意义：即圆的半径不小于半弦。

探究活动二：

师：请同学们观察下面的图形，设AB、AD的边长分别为 ，利用这个图形，看一看能否证出这个定理？

（教师用投影仪给出图形，学生进行讨论。）

生：令|BC|= ，|AB|= ，∠ABE=45°，

∵S△ABE+S△BCF≥S矩形ABCD。当且仅当AB=BC时的面积相等。

即： ，

探究活动三：

师：很好！观察函数y= 的图像， 同学们能利用y= 这个函数，证明定理“如果a,b 为实数，那么 当且仅当a=b时取等号”吗？

（用多媒体给出函数 的图像，并进行适当的启发）

师：如图：构造梯形ABCD，设A(a,0），B(b,0），E( ，0）。则：

    1.|AD|=?, |BC|=? ,|EF|=?,|EG|=？；

生： ，|EG|=

师：|EF|与|EG|之间有何关系？

生：|EF|≥|EG|， ，

课后探究

定理：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab。（当且仅当a=b时取等号）利用数形结合的思想的其他几种证明方法

1．利用二次函数y=x2（x>0）的图像，通过构造梯形的中位线和它的两底之间的关系进行证明；

2．利用反比例函数y= (x＞0)的图像，通过构造梯形的中位线和它的两底之间的关系进行证明；；

3．利用几何法证明：

正方形ABCD中，|AB|=a，|BF|=b，则△BCD与△BFO、矩形FBCE的面积之间的关系证明； 

从不同的角度认识基本不等式 ，明确它的几何意义，可以加深学生对基本不等式的理解。

利用几何图形的面积证明基本不等式，直观、简洁，易于学生接受，体现了合情推理的数学思想，也为代数问题的证明提供更多的方法，将函数的图像的引入，使得数与形的结合相得益彰。这样通过多种方法探究基本不等式的证明，可以有效地拓宽学生的解题思路，有利于学生数学思维的培养和解题能力的提高。

这部分内容作为备选内容，根据课堂教学进度灵活处理，也可作为学生的课后作业，以便强化课堂教学过程中思维训练。

小结

由学生归纳总结本节课的教学内容，教师和其他学生进行补充与完善。主要知识点：

①基本不等式及其约束条件“一正、二定、三相等”；

②“发散思维、探究创新”环节中出现的证明方法。

让学生归纳总结，既是对本节课教学情况的检验，也可提高学生的语言表达能力

作业

课后探究部分的第2 题、第3题

巩固发散思维训练的成果。强化基本不等式的记忆

板书设计

合理利用多媒体，可增加课堂教学容量，提高教学效率，体现了数学科与信息技术的整合，以及利用多媒体解决数学问题的方法。

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

教  学  过  程

环节

教 学 活 动

设计说明

创

设

情

境

激

发

兴

趣

教师展示第24届北京国际数学家大会的会标，并作简单的介绍：

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会1897年在瑞士苏黎世举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已成为最高水平的全球性数学科学学术会议，一般在发达国家举办，大会设立的菲尔茨奖由一枚纯金奖章和一笔奖金组成，奖励40岁以下的数学家，每次奖励不超过四人。这项奖励相当于数学界的诺贝尔奖。1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获菲尔茨奖，成为获此荣誉的第一位华人。2006年8月第二位华人澳大利亚数学家陶哲轩获此殊荣。

2002年8月20日在北京召开的第24届国际数学家大会是第一次在发展中国家举办。大会的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客，也代表着发展与继承。

通过介绍国际数学家大会、大会所设立的菲尔茨奖、华人获奖情况、2002年8月北京成功举办国际数学家大会、以及大会的会标、赵爽的弦图等情况，让学生感受到我国的

创

设

情

境

激

发

兴

趣

赵爽字君卿，生卒年代不详。可能是东汉末至三国时代吴国人，研究过张衡的天文数学著作和刘洪的《乾象历》，以及《九章算术》，深入研究了《周髀算经》为此写了序言，并作了详细注释。

赵爽创制的“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子： 4(ab/2)+(b-a)2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2 亦即：c= 。这个证明别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

国力在增强、科技在进步、社会在发展，民族在兴盛，以此激发学生民族自豪感和爱国热情，激发学生为振兴中华、发奋学习的学习热情。

按

部

就

班

合

情

推

理

问题提出：

师：请同学们根据赵爽的弦图，回答下面的问题：

1.有几个直角三角形？

2.如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，那么正方形的边长是多少？

3.每一个直角三角形的面积是多少？它们的面积和是多少？

4.以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？

5．这些直角三角形的面积的和与正方形的面积有何关系？

（由学生探究、讨论，归纳出定理）

定理：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab。（当且仅当a=b时取等号）

师：利用四个直角三角形的面积的和小于等于正方形的面积，容易证出上述定理，体现出利用数形结合的思想与方法解题的先进性，运用过去所学的知识，你能够证明这个定理吗？

生：可以利用比较法，a2+b2-2ab=(a-b)2≥0就可以证明出上述定理！

师：对于上述定理，注意a,b∈R这一条件，如果a，b都是正数，将a用 ，b用 ，代入上述定理的解析式中，你会得到怎样的结论？

生： 当且仅当a=b时取等号。

师：这个表达式中的隐含条件是什么？

生：a，b都是正数，在a=b的时候等号成立。

（教师用投影仪给出定理：如果a＞0，b＞0，那么 当且仅当a=b时取等号，并要求学生尝试证明）

生：利用前面的定理，用 替换原来的a，b。

师：这样证明是可以的,还能用其他的方法证出这个定理吗？

师生共同分析：

要证 成立，只需证： ≥0成立。

即证 ≥0，而 ≥0显然成立，当且仅当a=b时等号成立。

（教师说明这种证明方法叫分析法，再说明综合法和比较法证明不等式的方法）

师 ： 叫两正数a，b的算术平均数； 叫两正数a，b的几何平均数，上述定理的含义是什么？

生：两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数。

借助学生学习的热情，承接前面给出的赵爽的弦图，继续深入研究，在老师有效地引导下，学生会按部就班地推证出所要推证的结论，既体验了知识发生、发展的过程，同时也感悟了赵爽的弦图的精妙，以及利用数形结合的思想解题优越性。分析法的引入，对训练学生的数学思维，提高学生思维品质很有帮助， 综合法与比较法的介绍，对完善学生的知识结构，提高学生的解题能力是非常必要的。介绍算术平均数与几何平均数可以提高学生的数学理论水平。

发

散

思

维

探

究

创

新

探究活动一：

师：你能用几何方法证明吗？

生：在圆中做一直径AB，在圆周上任取一点C（异于点A，B），则∠ACB为直角。过C作CD⊥AB于D。设|AD|=a,|DB|=b，则|CD| = 由圆的性质可知：   。

师：证明过程说明了定理的几何意义：即圆的半径不小于半弦。

探究活动二：

师：请同学们观察下面的图形，设AB、AD的边长分别为 ，利用这个图形，看一看能否证出这个定理？

（教师用投影仪给出图形，学生进行讨论。）

生：令|BC|= ，|AB|= ，∠ABE=45°，

∵S△ABE+S△BCF≥S矩形ABCD。当且仅当AB=BC时的面积相等。

即： ，

探究活动三：

师：很好！观察函数y= 的图像， 同学们能利用y= 这个函数，证明定理“如果a,b 为实数，那么 当且仅当a=b时取等号”吗？

（用多媒体给出函数 的图像，并进行适当的启发）

师：如图：构造梯形ABCD，设A(a,0），B(b,0），E( ，0）。则：

    1.|AD|=?, |BC|=? ,|EF|=?,|EG|=？；

生： ，|EG|=

师：|EF|与|EG|之间有何关系？

生：|EF|≥|EG|， ，

课后探究

定理：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab。（当且仅当a=b时取等号）利用数形结合的思想的其他几种证明方法

1．利用二次函数y=x2（x>0）的图像，通过构造梯形的中位线和它的两底之间的关系进行证明；

2．利用反比例函数y= (x＞0)的图像，通过构造梯形的中位线和它的两底之间的关系进行证明；；

3．利用几何法证明：

正方形ABCD中，|AB|=a，|BF|=b，则△BCD与△BFO、矩形FBCE的面积之间的关系证明； 

从不同的角度认识基本不等式 ，明确它的几何意义，可以加深学生对基本不等式的理解。

利用几何图形的面积证明基本不等式，直观、简洁，易于学生接受，体现了合情推理的数学思想，也为代数问题的证明提供更多的方法，将函数的图像的引入，使得数与形的结合相得益彰。这样通过多种方法探究基本不等式的证明，可以有效地拓宽学生的解题思路，有利于学生数学思维的培养和解题能力的提高。

这部分内容作为备选内容，根据课堂教学进度灵活处理，也可作为学生的课后作业，以便强化课堂教学过程中思维训练。

小结

由学生归纳总结本节课的教学内容，教师和其他学生进行补充与完善。主要知识点：

①基本不等式及其约束条件“一正、二定、三相等”；

②“发散思维、探究创新”环节中出现的证明方法。

让学生归纳总结，既是对本节课教学情况的检验，也可提高学生的语言表达能力

作业

课后探究部分的第2 题、第3题

巩固发散思维训练的成果。强化基本不等式的记忆

板书设计

合理利用多媒体，可增加课堂教学容量，提高教学效率，体现了数学科与信息技术的整合，以及利用多媒体解决数学问题的方法。