3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教学内容

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

　　2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

　　难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

过程：

定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）

       证明：  

1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件

二、定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）

证明：∵       ∴

                  即：       当且仅当 时  

注意：1．这个定理适用的范围：

                2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：

          定理：如果 ，那么

（当且仅当 时取“=”）

证明：∵

∵      ∴上式≥0    从而

指出：这里   ∵ 就不能保证

    推论：如果 ，那么   

（当且仅当 时取“=”）

         证明：

   四、关于“平均数”的概念

1．如果  则：

叫做这n个正数的算术平均数

叫做这n个正数的几何平均数

2．点题：算术平均数与几何平均数

3．基本不等式：    ≥

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4． 的几何解释：

A

B

D’

D

C

a

b

以 为直径作圆，在直径AB上取一点C，               过C作弦DD’^AB   则    

从而

而半径

五、例一 已知 为两两不相等的实数，求证：

证：∵            

以上三式相加：

∴

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作业：P11-12  练习1、2    P12   习题5.2  1--3

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

过程：

定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）

       证明：  

1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件

二、定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）

证明：∵       ∴

                  即：       当且仅当 时  

注意：1．这个定理适用的范围：

                2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：

          定理：如果 ，那么

（当且仅当 时取“=”）

证明：∵

∵      ∴上式≥0    从而

指出：这里   ∵ 就不能保证

    推论：如果 ，那么   

（当且仅当 时取“=”）

         证明：

   四、关于“平均数”的概念

1．如果  则：

叫做这n个正数的算术平均数

叫做这n个正数的几何平均数

2．点题：算术平均数与几何平均数

3．基本不等式：    ≥

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4． 的几何解释：

A

B

D’

D

C

a

b

以 为直径作圆，在直径AB上取一点C，               过C作弦DD’^AB   则    

从而

而半径

五、例一 已知 为两两不相等的实数，求证：

证：∵            

以上三式相加：

∴

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作业：P11-12  练习1、2    P12   习题5.2  1--3

• 优点:

  过程齐全

• 缺点:

  无

• 优点:

  课件的设计注重学生自主学习、自我体验，主动参与、主动探究的学习过程。

• 缺点:

  较简单

• 优点:

  环节齐全

• 缺点:

  无