3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教学设计和教学实录

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，?

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.??

在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.

教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?

教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.?

?

⒈复习导入

师：这节课我们继续学习基本不等式.

（板书：基本不等式）

师：上新课之前我们先回顾一下前面学过的两个重要的不等式.

师：（板书1： ）不等式1成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？

生： .

师：（板书2： ）不等式2成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？

生： .

（教师根据学生的回答把不等式1，2补充完整.）

师：我们知道这是两个重要的不等式.而实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景.下面我们就研究一下这两个不等式的几何说明.

⒉基本不等式的几何说明

（教师展示自制图片，见图1）

师：这是北京第24届国际数学大会的会标.颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.会标是根据我国古代数学家赵爽在研究勾股定理时所做的弦图设计的.我国古代对勾股定理的研究要比西方早很多年.从这个图中我们能否找到不等式1的几何说明呢？

（教师将图中的“风车”抽象成如图2所示，画在黑板上.然后教师让学生对照黑板上的图形进行小组讨论.根据学生讨论的情况，教师再提示：把直角三角形的两条直角边分别设为a，b,把不等式1的形式和图形结合起来思考.然后鼓励学生到讲台前说明.）

生1（到讲台前）：直角三角形的两条直角边分别设为a，b,则图中正方形ABCD的面积为 ，直角三角形ABE的面积为 ，正方形的面积大于4个直角三角形的面积，即 .

（教师结合学生1的回答，在黑板上写出证明过程.即 ，4 ，∵ ，∴ .）

师：在不等式1中， ，式子中是有等号的，而我们刚才证明的不等式中没有等号，是不是不等式1错了？

生：不是.当图中的直角三角形为等腰直角三角形时，正方形面积与4个直角三角形的面积相等.

师：即等号成立的条件同样为 .

（教师在黑板上补充完整证明过程.）

师：我们用同样的图形能否对不等式2做出几何说明呢？（提示：不等式2常用变形 .）

生：把图中直角三角形的两条直角边长代换为 ，即可得到证明.

师：那么对于不等式2还有没有其他的几何说明呢？下面大家找出课前准备的正方形纸片，同桌两人为一组，合作演示一下，看看能否用两张正方形纸片来说明不等式2.

（学生讨论，教师边巡视边给予学生指导.）

生2，3（面向全体同学，用两张纸片演示）：把两个正方形纸片分别沿对角线对折（如图3中的△ADE， △ABF ），把它们沿对角线放在一起（如图3所示），设其中一个正方形的边长为a，另一个正方形的边长为b，则两个三角形面积和为 （ = ），把较大的三角形多余部分去掉后（去掉△EFC），长方形（ABCD）的面积为 .两个三角形的面积和大于长方形的面积，所以有 > .当两个正方形边长相等时，则有 = .

师：基本思路是正确的，但有一个小的问题，有没有同学补充一下？

生：正方形的边长应为 ， .

（教师在黑板上画出如图3所示的图形，结合图形进行说明.）

师：这样，我们就借助于面积对上述两个不等式进行了几何说明.

（教师取出课前准备的一张长方形纸片，一张正方形纸片.）

师：下面，大家看我手中的长方形和正方形纸片，它们的面积相等.若长方形的长为a，宽为b，那么正方形的边长为多少？

生：

师：这就解释了 叫做 “几何平均值”的由来.

师：大家还看这两张纸片，若长方形与正方形的面积都为1，同学们根据我手中的纸片，先猜测一下，长方形与正方形的周长哪个小？

生：正方形.

师：如何加以证明呢？请同学们在练习本上证明一下.

（学生练习，教师巡视.推导完成后，由学生对照课本上第10页的阅读部分自己订正.）

⒊基本不等式的推广

师：对于前面重要的两个不等式，我们能否对其进行推广？

师：对不等式1（设 ），推广到三个数的情形，大家会想到怎样的不等式？

（教师鼓励学生大胆猜测.）

生4： （当且仅当 时等号成立）.

（教师根据学生的回答在黑板上板书出不等式）

师： 满足的条件是什么？

生4： .

师：其他同学有没有不同意见？

生（部分学生）： 为正数.

师：能否举反例说明 是不正确的？

生5：当 时，不等式不成立.

师：虽然 在形式上与不等式1相对应，但是根据生5举出的反例，我们可以清楚的看到推广到 是不正确的，正确的推广应为 为正数.

（教师在黑板上补充 为正数.）

师：下面我们就为我们推广的这一不等式做一下证明.那么涉及不等式的证明，我们先回顾一下常用的方法有什么？

生：作差法.

（教师板书： ）

师：作差后，要进行适当的变形.但是我们没有学过三个数的立方和的分解问题，我们可以转化什么问题？

生：两个数的立方和的分解问题.

师：好，那么上式可变为： =

我给大家提示到这儿，下面大家接着把证明过程写完.

（教师找一名学生到黑板板演，其他学生练习.练习完成后，教师针对黑板上的证明情况，着重给学生强调等号成立的条件.）

师：我们对不等式1进行推广后，那么对于不等式2（如果a,b是正数，那么 ，当且仅当 时等号成立.）我们又可做怎样的推广呢？

生：如果a，b，c为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立.

（教师根据学生的回答，在黑板上做出相应的板书：注明不等式3）

师：如何证明呢？

（教师提示：可参考前面刚证明的不等式来思考.）

生：把不等式 中的a，b，c分别代换成 即可.

师：上式即为三个正数的算术-几何平均值不等式.这个不等式同样可推广到n个正数的情形.设 为n个正数，则我们可得到怎样的不等式？

生：设 为n个正数，则 ，当且仅当 时等号成立.

（教师根据学生回答做出相应板书：注明不等式4）.

师：这个不等式的证明较复杂，感兴趣的同学可以课后跟教师讨论相关的证明方法.这样我们就把均值定理推广到了n个正数的情形.

⒋课堂练习

（练习习题1，2，做完后由学生订正答案.）

⒌课堂小结

师：这一节课，我们主要学习了两部分内容：一是对定理1，2中的不等式作了几何说明，实际上这也体现了一种重要的数学思想-----数形结合的数学思想，同学们课后也可思考我们学过的其他的不等式（或等式）的几何说明；二是我们对均值定理进行了推广，推广到了n个正数的情形.并且不等式1-4均可作为定理使用.在定理1-4的不等式中，每个式子在特定的条件下，不等式均可转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.

⒍作业设计

（教师拿出课前准备好的底面直径和高大体相等的圆柱形水杯.）

师：大家看我手中的水杯，可以发现这个圆柱形水杯底面直径和高有什么关系？

生：大体相等.

师：在我们日常生活中，一些装罐头，果酱的瓶子，水杯等经常设计成底面直径和高大体相等的圆柱形，目的是什么呢？

（学生讨论，部分学生提到节约用料.）

师：有的同学想到了，的确，在体积相同的情况下，这种设计所用的材料是最省的.大家能否利用我们所学的知识来加以证明呢？这个问题就作为我们今天的课后思考题.

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

⒈复习导入

师：这节课我们继续学习基本不等式.

（板书：基本不等式）

师：上新课之前我们先回顾一下前面学过的两个重要的不等式.

师：（板书1： ）不等式1成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？

生： .

师：（板书2： ）不等式2成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？

生： .

（教师根据学生的回答把不等式1，2补充完整.）

师：我们知道这是两个重要的不等式.而实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景.下面我们就研究一下这两个不等式的几何说明.

⒉基本不等式的几何说明

（教师展示自制图片，见图1）

师：这是北京第24届国际数学大会的会标.颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.会标是根据我国古代数学家赵爽在研究勾股定理时所做的弦图设计的.我国古代对勾股定理的研究要比西方早很多年.从这个图中我们能否找到不等式1的几何说明呢？

（教师将图中的“风车”抽象成如图2所示，画在黑板上.然后教师让学生对照黑板上的图形进行小组讨论.根据学生讨论的情况，教师再提示：把直角三角形的两条直角边分别设为a，b,把不等式1的形式和图形结合起来思考.然后鼓励学生到讲台前说明.）

生1（到讲台前）：直角三角形的两条直角边分别设为a，b,则图中正方形ABCD的面积为 ，直角三角形ABE的面积为 ，正方形的面积大于4个直角三角形的面积，即 .

（教师结合学生1的回答，在黑板上写出证明过程.即 ，4 ，∵ ，∴ .）

师：在不等式1中， ，式子中是有等号的，而我们刚才证明的不等式中没有等号，是不是不等式1错了？

生：不是.当图中的直角三角形为等腰直角三角形时，正方形面积与4个直角三角形的面积相等.

师：即等号成立的条件同样为 .

（教师在黑板上补充完整证明过程.）

师：我们用同样的图形能否对不等式2做出几何说明呢？（提示：不等式2常用变形 .）

生：把图中直角三角形的两条直角边长代换为 ，即可得到证明.

师：那么对于不等式2还有没有其他的几何说明呢？下面大家找出课前准备的正方形纸片，同桌两人为一组，合作演示一下，看看能否用两张正方形纸片来说明不等式2.

（学生讨论，教师边巡视边给予学生指导.）

生2，3（面向全体同学，用两张纸片演示）：把两个正方形纸片分别沿对角线对折（如图3中的△ADE， △ABF ），把它们沿对角线放在一起（如图3所示），设其中一个正方形的边长为a，另一个正方形的边长为b，则两个三角形面积和为 （ = ），把较大的三角形多余部分去掉后（去掉△EFC），长方形（ABCD）的面积为 .两个三角形的面积和大于长方形的面积，所以有 > .当两个正方形边长相等时，则有 = .

师：基本思路是正确的，但有一个小的问题，有没有同学补充一下？

生：正方形的边长应为 ， .

（教师在黑板上画出如图3所示的图形，结合图形进行说明.）

师：这样，我们就借助于面积对上述两个不等式进行了几何说明.

（教师取出课前准备的一张长方形纸片，一张正方形纸片.）

师：下面，大家看我手中的长方形和正方形纸片，它们的面积相等.若长方形的长为a，宽为b，那么正方形的边长为多少？

生：

师：这就解释了 叫做 “几何平均值”的由来.

师：大家还看这两张纸片，若长方形与正方形的面积都为1，同学们根据我手中的纸片，先猜测一下，长方形与正方形的周长哪个小？

生：正方形.

师：如何加以证明呢？请同学们在练习本上证明一下.

（学生练习，教师巡视.推导完成后，由学生对照课本上第10页的阅读部分自己订正.）

⒊基本不等式的推广

师：对于前面重要的两个不等式，我们能否对其进行推广？

师：对不等式1（设 ），推广到三个数的情形，大家会想到怎样的不等式？

（教师鼓励学生大胆猜测.）

生4： （当且仅当 时等号成立）.

（教师根据学生的回答在黑板上板书出不等式）

师： 满足的条件是什么？

生4： .

师：其他同学有没有不同意见？

生（部分学生）： 为正数.

师：能否举反例说明 是不正确的？

生5：当 时，不等式不成立.

师：虽然 在形式上与不等式1相对应，但是根据生5举出的反例，我们可以清楚的看到推广到 是不正确的，正确的推广应为 为正数.

（教师在黑板上补充 为正数.）

师：下面我们就为我们推广的这一不等式做一下证明.那么涉及不等式的证明，我们先回顾一下常用的方法有什么？

生：作差法.

（教师板书： ）

师：作差后，要进行适当的变形.但是我们没有学过三个数的立方和的分解问题，我们可以转化什么问题？

生：两个数的立方和的分解问题.

师：好，那么上式可变为： =

我给大家提示到这儿，下面大家接着把证明过程写完.

（教师找一名学生到黑板板演，其他学生练习.练习完成后，教师针对黑板上的证明情况，着重给学生强调等号成立的条件.）

师：我们对不等式1进行推广后，那么对于不等式2（如果a,b是正数，那么 ，当且仅当 时等号成立.）我们又可做怎样的推广呢？

生：如果a，b，c为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立.

（教师根据学生的回答，在黑板上做出相应的板书：注明不等式3）

师：如何证明呢？

（教师提示：可参考前面刚证明的不等式来思考.）

生：把不等式 中的a，b，c分别代换成 即可.

师：上式即为三个正数的算术-几何平均值不等式.这个不等式同样可推广到n个正数的情形.设 为n个正数，则我们可得到怎样的不等式？

生：设 为n个正数，则 ，当且仅当 时等号成立.

（教师根据学生回答做出相应板书：注明不等式4）.

师：这个不等式的证明较复杂，感兴趣的同学可以课后跟教师讨论相关的证明方法.这样我们就把均值定理推广到了n个正数的情形.

⒋课堂练习

（练习习题1，2，做完后由学生订正答案.）

⒌课堂小结

师：这一节课，我们主要学习了两部分内容：一是对定理1，2中的不等式作了几何说明，实际上这也体现了一种重要的数学思想-----数形结合的数学思想，同学们课后也可思考我们学过的其他的不等式（或等式）的几何说明；二是我们对均值定理进行了推广，推广到了n个正数的情形.并且不等式1-4均可作为定理使用.在定理1-4的不等式中，每个式子在特定的条件下，不等式均可转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.

⒍作业设计

（教师拿出课前准备好的底面直径和高大体相等的圆柱形水杯.）

师：大家看我手中的水杯，可以发现这个圆柱形水杯底面直径和高有什么关系？

生：大体相等.

师：在我们日常生活中，一些装罐头，果酱的瓶子，水杯等经常设计成底面直径和高大体相等的圆柱形，目的是什么呢？

（学生讨论，部分学生提到节约用料.）

师：有的同学想到了，的确，在体积相同的情况下，这种设计所用的材料是最省的.大家能否利用我们所学的知识来加以证明呢？这个问题就作为我们今天的课后思考题.

• 优点:

  好

• 缺点:

  没有