3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2第二课时教学实录

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1. 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2. 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3. 情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

基本不等式是高中数学的一个重要知识点，它是不等式性质的延伸，是函数求最值的延伸，是高考的一个重要考点.

   1. 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

    2. 难点：基本不等式 等号成立条件

基本不等式是高中数学的一个重要知识点，它是不等式性质的延伸，是函数求最值的延伸，是高考的一个重要考点.

基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2．得到结论：

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

  2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

  3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝ .

这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

1.重要不等式：

2.基本不等式：

例1：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

知识拓展

两个正数

1．如果和 为定值 时，则当           时，积 有最大值         .

2. 如果积 为定值 时，则当          时，和 有最小值         .

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

基本不等式是高中数学的一个重要知识点，它是不等式性质的延伸，是函数求最值的延伸，是高考的一个重要考点.

基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2．得到结论：

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

  2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

  3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝ .

这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

1.重要不等式：

2.基本不等式：

例1：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

知识拓展

两个正数

1．如果和 为定值 时，则当           时，积 有最大值         .

2. 如果积 为定值 时，则当          时，和 有最小值         .