3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2教案和课堂实录

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

（一）数学知识点：

1.重要不等式：a,b∈R,  + 2ab（当且仅当a=b时，取“=”号）

均值不等式： （当且仅当a=b时，取“=”号）

2．算术平均数、几何平均数及它们之间的关系。

（二）能力训练要求：

1．学会推导并灵活运用“重要不等式和均值不等式”这个两个重要定理及其它们各自的变型形式；

2．理解均值不等式的几何意义，并牢固掌握定理中的“＝”成立的条件；

3．通过“拆分、配凑”构建适合不等式的模式求最值，归纳小结“重要不等式和均值不等式”所适用的环境。

1.重点：（1）重要不等式的理解和应用； （2）均值不等式的理解和应用。 2.难点：（1）重要不等式和均值不等式变型的灵活应用； （2）拆分、配凑构建不等式的模式。 3.关键：“一定，二正，三相等”。

 例1、用几个不同电阻值的电阻组装成一个如图（略）的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。（2001年全国高中数学联合竞赛题）

          例2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量得到共n个数据，我们规定所测量物理量的最佳近似值a是这样的量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从推出的a =

      __________（1994全国高考题）。

    主题：利用现实问题以及物理知识来引入均值不等式 （当a=b取“=”号）

    过程：从一个虚拟的问题开始：

    某商家用一个两臂之长有差异的天平称量售出物品。为示公平，售货员每次都将物品放在左右两个托盘内各称一次，再取两次结果的算术平均数计之。问这种计量准不准确，若不准确吃亏的是商家还是顾客？说明理由。

这是一道贴近生活实际的物理问题，给学生创设了一个联想的情境。概括数学化的过程，在这样的物理情景下，学生的心弦一下就被拨动了。笔者再设计了一些跳一跳就能够摘到的阶梯问题，使得学生思维活动处于愤悱状态中，欲罢不能，不由自主地进入"思、悟、做"的探索学习当中。

          师：这种计量准不准确？

          生1：肯定不准确。

          师：既然不准确，吃亏的是商家还是顾客？

          生2：肯定是顾客，无商不奸嘛！

          师：为什么？能否分析一下其中的道理吗？

          同学们感到无从下手，因为学生的数理整合意识薄弱，没有对隐性的数量关系做出显性假设的转化意识。

          师：（适时点拨，引而不发）如果你是顾客，买了一件重量为G的商品，在两臂不等的天平两边各称一次结果会怎样？

          此时，大多数同学都悟出：设物体放在左右两边称出的重量分别为a和b。联想到物理学上的杠杆原理，须对两边的臂长作出假设。

          至此基本完成数学化过程，问题由抽象变得具体。

          生3：设两臂长为 ， ，商品的实际重量为G，根据杠杆原理有，应有 ， 。

          师：很好！从这两个等式是否能得到G与a、b之间的关系？

          生4：将两个等式左边和左边相乘，右边和右边相乘，得 。因此商家正确的做法是把两次称得的结果乘起来再开方。

          师：很好！分析得完全正确。那么，要知道顾客是否吃亏，就必须比较 和 的大小。这就是我们今天要讲的平均不等式。那么 和 到底哪一个大呢？

              生5：作差来比较。

          师：对。请同学们看书上的作差比较法。（学生阅读书本内容数分钟）看懂了吗？

          生：看懂了。

          师：注意，等式成立的充要条件是 ，当 时，吃亏的只能是顾客了。现在请大家仔细想一想，还有别的办法判断 和 的大小吗？

          生：（议论，但没有结果）

          师：这时请学生自学高二教材均值不等式的几何解释，使学生从刚刚的理解上再回到数学上来，用几何学来解释代数问题。

小结：

1．重要不等式和均值不等式及其各自的等价变型形式；

2．均值不等式及其三要素：“一正，二定，三相等”；

作业： 45分钟基础巩固：1--6能力提升：8、9、11

思考题： 求证：

教后反思:

总的来说，自己对这节课不是很满意，或许是角度不一样，要求的程度也不一样吧。路在脚下，用心走好。

先说说这节课的优势：备课很用心，引入切合实际让学生学会关注这个社会并对出现的现象进行合理的分析；知识点讲完后立即检测学生的学习效果，能让他们及时把握，达到活学活用的效果；一题三变或一题四变的方式，层层相扣，式式递进，使学生的学生达到举一反三的效果，增强学生对知识点灵活使用的层度；上课思路清晰，能自由调动课堂气氛，适当的给学生以鼓励和赞许，增强他们学习的信心。

这节课的不足之处：这节课语速过快，留给学生自由发挥的空间较少，由于借班上课，课堂不是很活跃，最后的总结有些仓促。其他同事的意见都很中肯：引入有点沉重，虽与实际联系紧密但演算过程繁杂，如果用一个简单的例子给他们会节省时间，为后面自由发挥留出空间，声音稍小。

以上意见，自己会虚心接受，或许教了高三的缘故，讲课速度快，想要面面俱到就必会在题目中变式很多，帮学生归纳小结的地方很多，所以让他们自由发挥的空间相对就少了。这些一定在今后的教学中改正。

点评：

传统的教学很少为均值不等式设置具体物理问题情境，更不会为不等式提供物理模型。通过教学，学生能够掌握作差的基本证明方法，也能够利用不等式进行其他不等式的证明。但是，本案例的教学除了达到上述教学目的外，还让学生体会到数学的应用价值以及不同学科知识之间的密切联系，更重要的是，这种教学大大拓宽了学生的知识视野，在培养学生创新能力方面具有无可比拟的优越性。

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

 例1、用几个不同电阻值的电阻组装成一个如图（略）的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。（2001年全国高中数学联合竞赛题）

          例2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量得到共n个数据，我们规定所测量物理量的最佳近似值a是这样的量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从推出的a =

      __________（1994全国高考题）。

    主题：利用现实问题以及物理知识来引入均值不等式 （当a=b取“=”号）

    过程：从一个虚拟的问题开始：

    某商家用一个两臂之长有差异的天平称量售出物品。为示公平，售货员每次都将物品放在左右两个托盘内各称一次，再取两次结果的算术平均数计之。问这种计量准不准确，若不准确吃亏的是商家还是顾客？说明理由。

这是一道贴近生活实际的物理问题，给学生创设了一个联想的情境。概括数学化的过程，在这样的物理情景下，学生的心弦一下就被拨动了。笔者再设计了一些跳一跳就能够摘到的阶梯问题，使得学生思维活动处于愤悱状态中，欲罢不能，不由自主地进入"思、悟、做"的探索学习当中。

          师：这种计量准不准确？

          生1：肯定不准确。

          师：既然不准确，吃亏的是商家还是顾客？

          生2：肯定是顾客，无商不奸嘛！

          师：为什么？能否分析一下其中的道理吗？

          同学们感到无从下手，因为学生的数理整合意识薄弱，没有对隐性的数量关系做出显性假设的转化意识。

          师：（适时点拨，引而不发）如果你是顾客，买了一件重量为G的商品，在两臂不等的天平两边各称一次结果会怎样？

          此时，大多数同学都悟出：设物体放在左右两边称出的重量分别为a和b。联想到物理学上的杠杆原理，须对两边的臂长作出假设。

          至此基本完成数学化过程，问题由抽象变得具体。

          生3：设两臂长为 ， ，商品的实际重量为G，根据杠杆原理有，应有 ， 。

          师：很好！从这两个等式是否能得到G与a、b之间的关系？

          生4：将两个等式左边和左边相乘，右边和右边相乘，得 。因此商家正确的做法是把两次称得的结果乘起来再开方。

          师：很好！分析得完全正确。那么，要知道顾客是否吃亏，就必须比较 和 的大小。这就是我们今天要讲的平均不等式。那么 和 到底哪一个大呢？

              生5：作差来比较。

          师：对。请同学们看书上的作差比较法。（学生阅读书本内容数分钟）看懂了吗？

          生：看懂了。

          师：注意，等式成立的充要条件是 ，当 时，吃亏的只能是顾客了。现在请大家仔细想一想，还有别的办法判断 和 的大小吗？

          生：（议论，但没有结果）

          师：这时请学生自学高二教材均值不等式的几何解释，使学生从刚刚的理解上再回到数学上来，用几何学来解释代数问题。

小结：

1．重要不等式和均值不等式及其各自的等价变型形式；

2．均值不等式及其三要素：“一正，二定，三相等”；

作业： 45分钟基础巩固：1--6能力提升：8、9、11

思考题： 求证：

教后反思:

总的来说，自己对这节课不是很满意，或许是角度不一样，要求的程度也不一样吧。路在脚下，用心走好。

先说说这节课的优势：备课很用心，引入切合实际让学生学会关注这个社会并对出现的现象进行合理的分析；知识点讲完后立即检测学生的学习效果，能让他们及时把握，达到活学活用的效果；一题三变或一题四变的方式，层层相扣，式式递进，使学生的学生达到举一反三的效果，增强学生对知识点灵活使用的层度；上课思路清晰，能自由调动课堂气氛，适当的给学生以鼓励和赞许，增强他们学习的信心。

这节课的不足之处：这节课语速过快，留给学生自由发挥的空间较少，由于借班上课，课堂不是很活跃，最后的总结有些仓促。其他同事的意见都很中肯：引入有点沉重，虽与实际联系紧密但演算过程繁杂，如果用一个简单的例子给他们会节省时间，为后面自由发挥留出空间，声音稍小。

以上意见，自己会虚心接受，或许教了高三的缘故，讲课速度快，想要面面俱到就必会在题目中变式很多，帮学生归纳小结的地方很多，所以让他们自由发挥的空间相对就少了。这些一定在今后的教学中改正。

点评：

传统的教学很少为均值不等式设置具体物理问题情境，更不会为不等式提供物理模型。通过教学，学生能够掌握作差的基本证明方法，也能够利用不等式进行其他不等式的证明。但是，本案例的教学除了达到上述教学目的外，还让学生体会到数学的应用价值以及不同学科知识之间的密切联系，更重要的是，这种教学大大拓宽了学生的知识视野，在培养学生创新能力方面具有无可比拟的优越性。