3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优秀教学设计

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识与技能目标

探索并了解基本不等式的证明过程，了解基本不等式的几何意义，并掌握定理中不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2．过程与方法目标

通过从不同角度探索基本不等式 ，体会从特殊到一般、一般到特殊的数学思想方法，逐步渗透数形结合数学思想方法。

3．情感、态度与价值观目标

（1）在具体的问题情境中体会数学来源于生活，激发学生学习数学地兴趣

（2）在探究、解决问题的过程中，培养学生的表达能力，与人合作交流的意识，逐步形成积极探索的学习氛围。

学生已经学习了不等式的性质等知识，但是课上独立地从不同角度探究基本不等式会有一定的困难。然而，中学生的自我表现欲比较强，如果经过有目的地课前预习和小组合作探究，能够在课堂上积极地发言，愿意把自己的闪光点展示给大家，体验成功的喜悦，进一步激发学习的兴趣。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程。

【教学难点】

从不同角度探索基本不等式 以及应用于解决简单的最大(小)值问题

知识回顾，巩固基础

1、不等式的性质

2、做差法比较大小（学生思考、回答问题并相互补充.）

设计意图：唤起学生对基础知识的回忆，为学习新知做准备.

创设情境，导入新课

这是《焦点访谈—走进美妙的数学》节目的一个画面，图片中央红色的部分看上去像一个漂亮的风车，你能出它的背景知识吗？

学生活动：

（1）观察图片.

（2）对照课前自主预习学案说出图片的背景知识.

(即这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的).

早在1700多年前，我国古代数学家赵爽设计并运用弦图证明了勾股定理.

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计意图：

（1）通过欣赏图片不断丰富自我，结合图片丰富的内涵激发学生的学习热情，同时增强学生的民族自豪感.

（2）提出研究的问题，让学生明确学习的目标，提高学生探究的兴趣.

1．问题探究1——探究图形中的不等关系.

将图片中的“风车”抽象成如图

问题1：这个图形是由哪几部分组成的？

问题2：设较大正方形的四个顶点分别为A、B、C、D，每个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，那么这个正方形的边长怎么表示？

问题3：这四个直角三角形的面积和是多少？

问题4：这个正方形的面积是多少？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为 、 ，那么正方形的边长为       ，面积为       ；每一个直角三角形的面积是     ，4个直角三角形的面积和是        .

问题5：这两个面积之间的大小关系是怎样的？

问题6：改变 、 的取值，这两个面积之间的大小关系还成立吗？（借助《几何画板》课件动画演示）

根据观察4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们容易得到一个不等式           .当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH变成一个点，这时有                .

归纳结论：当直角三角形变成为等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH缩为一个点，这时我们有

.因此对于任意正数，我们就得到了一个不等式： .

问题：当不等式中等号成立时 吗？

当 时不等式中等号成立吗？

因此，我们说当且仅当 时等号成立.

问题：对任意实数 ,这个不等式还成立吗？你是怎样得到的？

证明：（作差法）

因为    

当 时，

当 时，

所以， ，即

重要不等式：一般地，对于任意实数 ，我们有 .

使用这个不等式有哪些需要注意的问题：

（1）

（2）“=”成立的条件是

2．问题探究2——从不同角度探究基本不等式

（1）如果 我们用 、 分别代替 ，会得到什么？

基本不等式：一般地，如果 ，那么 .

通常我们把上式写作：

（2）你能证明基本不等式 吗？

证明如下：

要证:         ①               

即证                        ②                  

要证②,只要证             ③               

要证③,只要证(   -    )         ④   

显然, ④是成立的,当且仅当 时④的等号成立

（3）基本不等式 的代数解释

算术平均数：把 叫做正数 的算术平均数.

几何平均数：把 叫做正数 的几何平均数.

代数解释：

①两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

②两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项.

（4）基本不等式 的几何解释

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

几何解释：“半径不小于半弦”

基本不等式还有其他的几何解释吗？

学生活动：（1）观察图片，在教师的引导下思考并回答问题.（2）凭直觉猜想结论，然后观察动画，在教师的引导下思考、比较后归纳结论.

（3）学生思考、讨论证明的方法并写出证明过程.

（4）小组代表展示课前自主预习、小组讨论的成果.

设计意图：根据我校学生的实际情况，在学生的“最近发展区”设计问题，逐步引导学生探究，从而使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法，逐步渗透数形结合的思想方法.

运用动态演示形象直观，提高学生的学习兴趣.

结论的得出与证明尽量发挥学生的主观能动性，让学生总结，教师适时点拨引导.

培养学生的团队合作的意识，逐步增强学生学习的信心.

例

总结：

①运用基本不等式应注意“一正、二定、三相等”.

②运用基本不等式可以解决简单的最大（小）值，即“积定和最小”、“和定积最大”.

学生活动：在教师的引导下思考并运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

设计意图：在运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题的过程中进一步加深对基本不等式的理解，同时逐步提高学生运用知识分析、解决问题的能力.

1、大家来挑错

2、更上一层楼

学生活动：（1）在教师的引导下思考并运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.（2）在教师引导下观察、思考回答问题并创造运用基本不等式的条件以解决最大(小)值问题.

设计意图：（1）通过练习，使学生强化理解运用基本不等式应注意的问题，及时反馈学生掌握新知识的情况.（2）进行适度的知识拓展，为后续学习做准备.

这节课你有哪些收获？

学生活动：学生独立思考、总结，教师加以补充.

设计意图：启发学生对所学内容加以总结，进一步加深对本节知识的理解.

请对照课堂自我评价表格（详见附表2）对自己做出客观公正的自我评价.学生活动：学生对照自我评价表格的相关项目做自我评价.

附件2: 

课 堂 自 我 评 价            

 评价项目及评价结果

优

良

合格

不合格

课前预习的主动性以及效果

课堂活动的参与度

独立回答问题以及解决问题的准确性

对整节课所学知识以及数学思想方法的认识与体会

较之上节课的学习表现是否有了进步

是

否

备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价，并写在相应的栏目下面。

设计意图：使学生通过客观公正的评价自我，及时肯定自我，不断增强学好数学的信心.

1、必做题：

课本 100页

练习 第1题

习题3.4 A组 第1题

2、选做：已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.

设计意图 ：

根据学生的实际情况分层提出要求，以利于不同层次的学生都有所发展.

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

知识回顾，巩固基础

1、不等式的性质

2、做差法比较大小（学生思考、回答问题并相互补充.）

设计意图：唤起学生对基础知识的回忆，为学习新知做准备.

创设情境，导入新课

这是《焦点访谈—走进美妙的数学》节目的一个画面，图片中央红色的部分看上去像一个漂亮的风车，你能出它的背景知识吗？

学生活动：

（1）观察图片.

（2）对照课前自主预习学案说出图片的背景知识.

(即这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的).

早在1700多年前，我国古代数学家赵爽设计并运用弦图证明了勾股定理.

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计意图：

（1）通过欣赏图片不断丰富自我，结合图片丰富的内涵激发学生的学习热情，同时增强学生的民族自豪感.

（2）提出研究的问题，让学生明确学习的目标，提高学生探究的兴趣.

1．问题探究1——探究图形中的不等关系.

将图片中的“风车”抽象成如图

问题1：这个图形是由哪几部分组成的？

问题2：设较大正方形的四个顶点分别为A、B、C、D，每个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，那么这个正方形的边长怎么表示？

问题3：这四个直角三角形的面积和是多少？

问题4：这个正方形的面积是多少？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为 、 ，那么正方形的边长为       ，面积为       ；每一个直角三角形的面积是     ，4个直角三角形的面积和是        .

问题5：这两个面积之间的大小关系是怎样的？

问题6：改变 、 的取值，这两个面积之间的大小关系还成立吗？（借助《几何画板》课件动画演示）

根据观察4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们容易得到一个不等式           .当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH变成一个点，这时有                .

归纳结论：当直角三角形变成为等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH缩为一个点，这时我们有

.因此对于任意正数，我们就得到了一个不等式： .

问题：当不等式中等号成立时 吗？

当 时不等式中等号成立吗？

因此，我们说当且仅当 时等号成立.

问题：对任意实数 ,这个不等式还成立吗？你是怎样得到的？

证明：（作差法）

因为    

当 时，

当 时，

所以， ，即

重要不等式：一般地，对于任意实数 ，我们有 .

使用这个不等式有哪些需要注意的问题：

（1）

（2）“=”成立的条件是

2．问题探究2——从不同角度探究基本不等式

（1）如果 我们用 、 分别代替 ，会得到什么？

基本不等式：一般地，如果 ，那么 .

通常我们把上式写作：

（2）你能证明基本不等式 吗？

证明如下：

要证:         ①               

即证                        ②                  

要证②,只要证             ③               

要证③,只要证(   -    )         ④   

显然, ④是成立的,当且仅当 时④的等号成立

（3）基本不等式 的代数解释

算术平均数：把 叫做正数 的算术平均数.

几何平均数：把 叫做正数 的几何平均数.

代数解释：

①两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

②两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项.

（4）基本不等式 的几何解释

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

几何解释：“半径不小于半弦”

基本不等式还有其他的几何解释吗？

学生活动：（1）观察图片，在教师的引导下思考并回答问题.（2）凭直觉猜想结论，然后观察动画，在教师的引导下思考、比较后归纳结论.

（3）学生思考、讨论证明的方法并写出证明过程.

（4）小组代表展示课前自主预习、小组讨论的成果.

设计意图：根据我校学生的实际情况，在学生的“最近发展区”设计问题，逐步引导学生探究，从而使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法，逐步渗透数形结合的思想方法.

运用动态演示形象直观，提高学生的学习兴趣.

结论的得出与证明尽量发挥学生的主观能动性，让学生总结，教师适时点拨引导.

培养学生的团队合作的意识，逐步增强学生学习的信心.

例

总结：

①运用基本不等式应注意“一正、二定、三相等”.

②运用基本不等式可以解决简单的最大（小）值，即“积定和最小”、“和定积最大”.

学生活动：在教师的引导下思考并运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

设计意图：在运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题的过程中进一步加深对基本不等式的理解，同时逐步提高学生运用知识分析、解决问题的能力.

1、大家来挑错

2、更上一层楼

学生活动：（1）在教师的引导下思考并运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.（2）在教师引导下观察、思考回答问题并创造运用基本不等式的条件以解决最大(小)值问题.

设计意图：（1）通过练习，使学生强化理解运用基本不等式应注意的问题，及时反馈学生掌握新知识的情况.（2）进行适度的知识拓展，为后续学习做准备.

这节课你有哪些收获？

学生活动：学生独立思考、总结，教师加以补充.

设计意图：启发学生对所学内容加以总结，进一步加深对本节知识的理解.

请对照课堂自我评价表格（详见附表2）对自己做出客观公正的自我评价.学生活动：学生对照自我评价表格的相关项目做自我评价.

附件2: 

课 堂 自 我 评 价            

 评价项目及评价结果

优

良

合格

不合格

课前预习的主动性以及效果

课堂活动的参与度

独立回答问题以及解决问题的准确性

对整节课所学知识以及数学思想方法的认识与体会

较之上节课的学习表现是否有了进步

是

否

备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价，并写在相应的栏目下面。

设计意图：使学生通过客观公正的评价自我，及时肯定自我，不断增强学好数学的信心.

1、必做题：

课本 100页

练习 第1题

习题3.4 A组 第1题

2、选做：已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.

设计意图 ：

根据学生的实际情况分层提出要求，以利于不同层次的学生都有所发展.