3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2优秀教案内容

3.4　基本不等式：√ab≤(… 高中数学       人教A版2003课标版

一、知识与技能?

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式 ；?

2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；?

3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.??

二、过程与方法?

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式?教学；?

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.??

三、情感态度与价值观?

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、

积极的学习品质，从而提高学习质量；?

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

授课班级的学生基础较为薄弱，具有很大的提升空间。需加强基础训练。

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式 ； 

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；?

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.?

教学过程

导入新课

师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式 .本节课，我们将利用基本不等式  来尝试证明一些简单的不等式.?

(此时，老师用投影仪给出下列问题)??

推进新课?

问题1.已知x、y都是正数，求证：?

(1) ；?

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.?

师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？?

（思考两分钟）?

生 不可以证明.?

师 是否可以用基本不等式证明呢？?

生 可以.?

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?

解：∵x、y都是正数，∴ ， .∴ ，即 .?

师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？?

（齐声：完成）?

［合作探究］?

师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？?

（引导同学们积极思考）?

生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.?

师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.?

生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2 ＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2 ·2 ＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3. ?

师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.?

（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）?

师 在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思

路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.?

(此时，老师用投影仪给出下列问题)?

问题3.求证： .?

（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键. ?

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?

解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2.?

不等式两边同除以4，得 ≥ ，即 .?

师 下面同学都是用这种思路解答的吗？?

生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.?

师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.?

［课堂练习］?

1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?

分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

∵a、b、c都是正数，?

∴a＋b≥2 ＞0,b＋c≥2 ＞0,c+a≥2 ＞0.?

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc,?

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?

［合作探究］?

2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证： .?

（老师先分析，再让学生完成）?

师 本题结论中，注意 互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab?，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明 为正数开始证题.?

(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)?

生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,?

∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.?

∴ax－ay＋by－bx＞0.?

∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.?

∴（a－b）（x－y）＞0,?

即a－b与x－y同号.?

∴ 均为正数.?

∴  (当且仅当 时取“＝”).?

∴ .?

师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“ ≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.??

课堂小结

师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？?

生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）?

师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ab）及它们的关系 证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题： ， .?

师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.??

布置作业

课本第116页，?Ｂ?组第1题.??

板书设计

基本不等式 的应用（一）?

复习引入　　　　　　　　例1　　　　　　　　　　　　方法归纳

基本不等式              例2

            方法引导                      小结

实例剖析（知识方法应用）

示范解题

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

3.4　基本不等式：√ab≤(a+b)／2

教学过程

导入新课

师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式 .本节课，我们将利用基本不等式  来尝试证明一些简单的不等式.?

(此时，老师用投影仪给出下列问题)??

推进新课?

问题1.已知x、y都是正数，求证：?

(1) ；?

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.?

师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？?

（思考两分钟）?

生 不可以证明.?

师 是否可以用基本不等式证明呢？?

生 可以.?

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?

解：∵x、y都是正数，∴ ， .∴ ，即 .?

师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？?

（齐声：完成）?

［合作探究］?

师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？?

（引导同学们积极思考）?

生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.?

师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.?

生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2 ＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2 ·2 ＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3. ?

师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.?

（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）?

师 在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思

路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.?

(此时，老师用投影仪给出下列问题)?

问题3.求证： .?

（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键. ?

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?

解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2.?

不等式两边同除以4，得 ≥ ，即 .?

师 下面同学都是用这种思路解答的吗？?

生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.?

师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.?

［课堂练习］?

1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?

分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

∵a、b、c都是正数，?

∴a＋b≥2 ＞0,b＋c≥2 ＞0,c+a≥2 ＞0.?

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc,?

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?

［合作探究］?

2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证： .?

（老师先分析，再让学生完成）?

师 本题结论中，注意 互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab?，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明 为正数开始证题.?

(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)?

生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,?

∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.?

∴ax－ay＋by－bx＞0.?

∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.?

∴（a－b）（x－y）＞0,?

即a－b与x－y同号.?

∴ 均为正数.?

∴  (当且仅当 时取“＝”).?

∴ .?

师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“ ≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.??

课堂小结

师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？?

生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）?

师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ab）及它们的关系 证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题： ， .?

师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.??

布置作业

课本第116页，?Ｂ?组第1题.??

板书设计

基本不等式 的应用（一）?

复习引入　　　　　　　　例1　　　　　　　　　　　　方法归纳

基本不等式              例2

            方法引导                      小结

实例剖析（知识方法应用）

示范解题