3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2PPT专用教学设计内容

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

（1）了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

（2）在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

（3）学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

（4）进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

    另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件，同时又要注意区别基本不等式的使用条件。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

 教学重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?

           2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?

           3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?

教学难点 ：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?

           2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?如何找？

    （教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情）

问题1  ?此图案中隐含什么样的几何图形呢？

设置意图：让学生建立从图像中抽象出几何图形的意识。使用预先准备好的四个等腰直角三角形在黑板上拼出图形，更直观，形象?

合作探究  同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

设置意图：让学生学会观察，在观察中发现一些问题，并将这些图形中的问题，转换为代数关系式，建立由图到数的转换。

问题2  设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，得到这样一个不等式a2+b2≥2ab.大家能给出证明吗？

设置意图：?让学生意识到当我们对生活中的一些结论进行归纳总结后，一定要予以证明。并渗透证明的方法。学生一般能想到作差比较法，在学生原有基础上，简单介绍分析法和作商比较法，留作课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生

合作探究  请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?

设置意图： 学生基本能意识到当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师及时点拨，从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明，此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用。?

问题3 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?

设置意图：这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.并向学生展示代替后的结果.

板书：?

即  (a＞0,b＞0).

 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把 叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?

问题4请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?

（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?

要证： ，①?

只要证a+b≥2 ，②?

要证②，只要证：a+b-2 ≥0，③?

要证③，只要证： ④?

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?

设置意图：此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

设置意图：本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础

问题5 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?

（1）我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?

（2）由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以 、 分别代替a、b，得到了基本不等式  (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?

（3） 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索 ,  , , 的大小关系，并证明你的结论.?

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.??

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?如何找？

    （教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情）

问题1  ?此图案中隐含什么样的几何图形呢？

设置意图：让学生建立从图像中抽象出几何图形的意识。使用预先准备好的四个等腰直角三角形在黑板上拼出图形，更直观，形象?

合作探究  同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

设置意图：让学生学会观察，在观察中发现一些问题，并将这些图形中的问题，转换为代数关系式，建立由图到数的转换。

问题2  设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，得到这样一个不等式a2+b2≥2ab.大家能给出证明吗？

设置意图：?让学生意识到当我们对生活中的一些结论进行归纳总结后，一定要予以证明。并渗透证明的方法。学生一般能想到作差比较法，在学生原有基础上，简单介绍分析法和作商比较法，留作课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生

合作探究  请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?

设置意图： 学生基本能意识到当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师及时点拨，从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明，此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用。?

问题3 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?

设置意图：这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.并向学生展示代替后的结果.

板书：?

即  (a＞0,b＞0).

 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把 叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?

问题4请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?

（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?

要证： ，①?

只要证a+b≥2 ，②?

要证②，只要证：a+b-2 ≥0，③?

要证③，只要证： ④?

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?

设置意图：此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?

设置意图：本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础

问题5 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?

（1）我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?

（2）由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以 、 分别代替a、b，得到了基本不等式  (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?

（3） 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索 ,  , , 的大小关系，并证明你的结论.?

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.??