3.3.2 简单的线性规划问题说课稿【一等奖】

3.3.2 简单的线性规划问题… 高中数学       人教A版2003课标版

1.会求简单的线性目标函数的最值问题；

2.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；

3.深入理解数形结合思想；

1.学生对含有两个变量的函数认识存在困难，二元函数与直线的数形结合的对应关系存在一定的障碍；

2.学生对直线方程（解析式）的认识较为肤浅，会给发现问题的解决方法的过程带来困难。

重点：求线性目标函数的最值问题；对数形结合的深入理解；

难点：“图解法”法的发现过程。

1.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

2.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

3.使学生经历求线性规划问题的探究方法.

4.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的思想.

5.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣和科学严谨的学习态度.

6.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.

线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解；对数形结合思想的理解.

使让学生经历用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.

1．组织学生选盒子做游戏的活动.内容为:在图中的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子?（见素材）

师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用运算-比较的方法容易解决老师提出的问题.之后，给出复杂图形（见素材），让学生在图中找目标函数 的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点.

【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，学生产生急待解决的内驱力，教师站在学生的最近发展区.也培养了学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

1．引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值，当b=6时求x，y的值，即求不定方程的解,在这样的背景下恰能合理的转化成点的坐标.并观察b=6时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会b值就是直线的纵截距.

师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程 ，教师引导学生观察b=6时，恰对应的直线中纵截距.

【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造，让学生自由探究，体验数学的发生发展过程及数形结合和化归的数学思想.学生自主解决问题的过程要通过教师设计的问题及适度引导,为主动探究作准备.

2．通过以上分析学生分组讨论求b的最大值.

师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：

预案1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数 转化成 ，x，y在取得每个可行解时b取值只要看直线过这个点时的纵截距，而所有这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可.

预案2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为b取最大值时x、y的取值一定在直线 的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于 的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点.

师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的想.并对学生的结论作出总结，先作直线y=-2x，再作平移，观察直线的纵截距.

【设计意图】新课程倡导学生自主、合作、探究的学习方式，充分发掘学生的潜能，有力地促进学生个性发展.合作学习有助于学生多角度思考问题，学生在教师创设的探究环境下，主动探究、合作交流获取直接经验，使学生学会运用已有知识探究新知的方法.

1．将目标函数变成 ， 求b的最大值.

师生活动：通过学生将 化成 的形式，做直线 在进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求.

【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受直线斜率的变化引起使 最大值的点发生变化.

2．将目标函数变成 ，求b的最大值.

师生活动：在平移直线时若按上述找纵截距的最大值便会出现问题，通过比较找到为何取截距最小的原因.

【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，能提高课堂效率，建立精准的数形联系．

1．例1：(习题3.3A组第3题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？

师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念.

【设计意图】教学中仍沿用学生感兴趣的例子激发学习动机，学生前面的学习只是学到了方法，并没有完整地解决实际问题，为此解题中要规范解决实际问题的策略和步骤，培养学生的数学建模意识.

2．反思例1解题过程，深入体会数形结合

师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结.

代数                                        几何

线性目标函数                    直线

线性目标函数的函数值                          直线的纵截距

线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)        可行域

线性目标函数的最值                           直线的纵截距的最值

【设计意图】数形结合思想的深入理解并达到训练应用的程度对学生来讲是个难点，这节内容恰是最好的素材，学生对通过前面的分析只是对数形结合表面化的体会，况且前面内容的重点是让学生学会方法，让学生经历探究的过程，在此时加强对数形结合思想的认识正是最好的时机，对学生的认知结构的形成是大有裨益的.

例2：(课本例2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪,花费28元； 1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?

师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题过程.

【设计意图】此题目的之一是检测学生对知识的掌握情况，之二是培养学生运算能力，再有就是让学生经历求最小值的问题，培养学生准确作图的能力.

4．反思例2,教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.对学生进行养成科学严谨的学习态度的德育教育,并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?

师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到有这种的情况下把所有可能的解都求出来,进行比较即可.

【设计意图】以上这种情况在解题中是经常会遇到的,让学生深入思考,有助于培养学生养成科学严谨的学习态度,有助于培养学生善于思考问题和解决问题能力.

1．由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业.

【设计意图】使学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力，能更深刻的理解数学.

3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题

1.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

2.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

3.使学生经历求线性规划问题的探究方法.

4.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的思想.

5.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣和科学严谨的学习态度.

6.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.

线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解；对数形结合思想的理解.

使让学生经历用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.

1．组织学生选盒子做游戏的活动.内容为:在图中的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子?（见素材）

师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用运算-比较的方法容易解决老师提出的问题.之后，给出复杂图形（见素材），让学生在图中找目标函数 的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点.

【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，学生产生急待解决的内驱力，教师站在学生的最近发展区.也培养了学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

1．引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值，当b=6时求x，y的值，即求不定方程的解,在这样的背景下恰能合理的转化成点的坐标.并观察b=6时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会b值就是直线的纵截距.

师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程 ，教师引导学生观察b=6时，恰对应的直线中纵截距.

【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造，让学生自由探究，体验数学的发生发展过程及数形结合和化归的数学思想.学生自主解决问题的过程要通过教师设计的问题及适度引导,为主动探究作准备.

2．通过以上分析学生分组讨论求b的最大值.

师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：

预案1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数 转化成 ，x，y在取得每个可行解时b取值只要看直线过这个点时的纵截距，而所有这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可.

预案2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为b取最大值时x、y的取值一定在直线 的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于 的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点.

师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的想.并对学生的结论作出总结，先作直线y=-2x，再作平移，观察直线的纵截距.

【设计意图】新课程倡导学生自主、合作、探究的学习方式，充分发掘学生的潜能，有力地促进学生个性发展.合作学习有助于学生多角度思考问题，学生在教师创设的探究环境下，主动探究、合作交流获取直接经验，使学生学会运用已有知识探究新知的方法.

1．将目标函数变成 ， 求b的最大值.

师生活动：通过学生将 化成 的形式，做直线 在进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求.

【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受直线斜率的变化引起使 最大值的点发生变化.

2．将目标函数变成 ，求b的最大值.

师生活动：在平移直线时若按上述找纵截距的最大值便会出现问题，通过比较找到为何取截距最小的原因.

【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，能提高课堂效率，建立精准的数形联系．

1．例1：(习题3.3A组第3题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？

师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念.

【设计意图】教学中仍沿用学生感兴趣的例子激发学习动机，学生前面的学习只是学到了方法，并没有完整地解决实际问题，为此解题中要规范解决实际问题的策略和步骤，培养学生的数学建模意识.

2．反思例1解题过程，深入体会数形结合

师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结.

代数                                        几何

线性目标函数                    直线

线性目标函数的函数值                          直线的纵截距

线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)        可行域

线性目标函数的最值                           直线的纵截距的最值

【设计意图】数形结合思想的深入理解并达到训练应用的程度对学生来讲是个难点，这节内容恰是最好的素材，学生对通过前面的分析只是对数形结合表面化的体会，况且前面内容的重点是让学生学会方法，让学生经历探究的过程，在此时加强对数形结合思想的认识正是最好的时机，对学生的认知结构的形成是大有裨益的.

例2：(课本例2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪,花费28元； 1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?

师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题过程.

【设计意图】此题目的之一是检测学生对知识的掌握情况，之二是培养学生运算能力，再有就是让学生经历求最小值的问题，培养学生准确作图的能力.

4．反思例2,教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.对学生进行养成科学严谨的学习态度的德育教育,并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?

师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到有这种的情况下把所有可能的解都求出来,进行比较即可.

【设计意图】以上这种情况在解题中是经常会遇到的,让学生深入思考,有助于培养学生养成科学严谨的学习态度,有助于培养学生善于思考问题和解决问题能力.

1．由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业.

【设计意图】使学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力，能更深刻的理解数学.