3.3.2 简单的线性规划问题课堂实录【2】

3.3.2 简单的线性规划问题… 高中数学       人教A版2003课标版

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题

3．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、转化、数形结合的思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力

本节课学生通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2．画出二元一次不等式组 表示的平面区域.

3.熟记“直线定界，特殊点定域”方法的内涵。

1.在变量x,y满足不等式组  的条件下 设z=2x+y，

同学们看如何求z的最大值

分析：关于x,y的不等式组表示的区域为ABC.

把z=2x+y变形为y=-2x+z这是斜率为-2，在y轴上截距为z的直线。当z变化时得到一组相互平行的直线，如右图:

由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点就能确定一条直线，这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点A（5，2）的直线的截距z最大，所以： =2×5+2=12

2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解

例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

分析：将已知数据列成表格

食物／kg

碳水化合物／kg

蛋白质/kg

脂肪／kg

A

0.105

0.07

0.14

B

0.105

0.14

0.07

解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么

目标函数为：z＝28x＋21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

把目标函数z＝28x＋21y, 变形为

它表示斜率为     ,随z变化的一组平行直线系，   是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。

M点是两条直线的交点，解方程组                                 得M点的坐标为：

所以 ＝28x＋21y＝16

     由此可知，每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。

评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

1．通过练习课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件

解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0

点（0，0）在直线 :2x+y=0上.

作一组与直线 平行的直线

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的z最大.

所以zmax=2×2-1=3.

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=z在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的z最小，以经过点（ ）的直线所对应的z最大.

所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.

zmax=3× +5× =14

    本节主要学习了线性约束下如何求目

标函数的最值问题.正确列出变量的不等关系式,准确作出

可行域是解决目标函数最值的关健,线性目标函数的最值一般都是在可行域

的顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与

可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

分析：将已知数据列成下表

甲原料（吨）

乙原料（吨）

费用限额

成本

1000

1500

6000

运费

500

400

2000

产品

90

100

解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：

z=90x+100y

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：

由  

令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（ ）时，直线90x+100y=t中的截距最大.

由此得出t的值也最大，最大值zmax=90× =440.

答：工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张

则

目标函数为：z=2x+3y

作出可行域：

把直线 ：2x+3y=0向右上方平移至 的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值

解方程 得M的坐标为（2，3）.

答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润

3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题

1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2．画出二元一次不等式组 表示的平面区域.

3.熟记“直线定界，特殊点定域”方法的内涵。

1.在变量x,y满足不等式组  的条件下 设z=2x+y，

同学们看如何求z的最大值

分析：关于x,y的不等式组表示的区域为ABC.

把z=2x+y变形为y=-2x+z这是斜率为-2，在y轴上截距为z的直线。当z变化时得到一组相互平行的直线，如右图:

由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点就能确定一条直线，这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点A（5，2）的直线的截距z最大，所以： =2×5+2=12

2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解

例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

分析：将已知数据列成表格

食物／kg

碳水化合物／kg

蛋白质/kg

脂肪／kg

A

0.105

0.07

0.14

B

0.105

0.14

0.07

解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么

目标函数为：z＝28x＋21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

把目标函数z＝28x＋21y, 变形为

它表示斜率为     ,随z变化的一组平行直线系，   是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。

M点是两条直线的交点，解方程组                                 得M点的坐标为：

所以 ＝28x＋21y＝16

     由此可知，每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。

评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

1．通过练习课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件

解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0

点（0，0）在直线 :2x+y=0上.

作一组与直线 平行的直线

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的z最大.

所以zmax=2×2-1=3.

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=z在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的z最小，以经过点（ ）的直线所对应的z最大.

所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.

zmax=3× +5× =14

    本节主要学习了线性约束下如何求目

标函数的最值问题.正确列出变量的不等关系式,准确作出

可行域是解决目标函数最值的关健,线性目标函数的最值一般都是在可行域

的顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与

可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

分析：将已知数据列成下表

甲原料（吨）

乙原料（吨）

费用限额

成本

1000

1500

6000

运费

500

400

2000

产品

90

100

解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：

z=90x+100y

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：

由  

令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（ ）时，直线90x+100y=t中的截距最大.

由此得出t的值也最大，最大值zmax=90× =440.

答：工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张

则

目标函数为：z=2x+3y

作出可行域：

把直线 ：2x+3y=0向右上方平移至 的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值

解方程 得M的坐标为（2，3）.

答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润