3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2名师教学设计1

3.4　基本不等式 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能

（1）经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程；

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；

（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.

过程与方法

（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

（2）发挥学生的主体作用，作好探究性实验；

（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性.

情感态度与价值观

（1）通过利用二次函数的图象求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想；

（2）通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观.

学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解.在解决引入问题中的一元二次不等式  时，学生可能会转化为不等式组{ 或{  求解.这种等价转化法非常好，应给予肯定和鼓励，但不在本节课学习之列.

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形

结合的思想；

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.

教学过程展示

1 从实际问题中，建立一元二次不等式模型（T：教师，S：学生）

T：随着网络的发展，上网已经是一种比较常见的休闲方式.大家知道网吧一般是怎样收费的吗？

S：积极回答.

T：看来大家对网吧收费行情了解的很全面，但我们不能沉迷于网络游戏，上网更重要的是帮助我们获取信息.下面我们来看一道有关网络收费的问题：

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家因特网服务公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.

一般来说，一次上网的时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么，一次上网多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？

师生活动：引导学生分析问题中的不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式 .

T：因此这个问题实际就是解不等式 的问题.这一不等式有几个未知数，最高次是多少？

S：只有1个未知数，最高次是2次.

T：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 .

注  从比较普遍的“网吧收费”问题讲起，再提出“网络收费”问题，低起点，贴进学生生活，利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想，又进一步加深了学生对“数学源于生活”的认识.

2 类比一元一次不等式解法，进行探究

T: 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图1）

引导学生观察P点在抛物线上移动时，随着P的横坐标

图1

的变化，P的纵坐标有什么变化，并得出以下结论：

（1） 轴是一条分界线，一次函数 与 轴的交点是分界点.

（2） 的解即为 在 轴上方的图象对应的 的范围；

的解即为 与 轴交点的横坐标；

的解即为 在 轴下方的图象对应的 的范围.

（3）写出 的解.

T：在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能否对一元二次不等式 的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图2），不断拖动P点，引导学生完成以下问题：

（1）当 为何值时， ？

当 为何值时， ？

当 为何值时， ？

（2）方程 的解是        ；

图2

不等式 的解集是        ；

不等式 的解集是        （解决了引入问题）.

注  结合几何画板的动态演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲.

3 从特殊到一般，深入探究

T：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为 的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

3.1 探究一元二次不等式 的解集

由教师演示几何画板制作的课件（如图3），上下拖动P点，观察 的值以及抛物线与 轴 相关位置，引导学生得出一元二次不等式 的解

图3

集应分为 三种情况讨论，并组织学生完成以下表格：

3.2 讨论一元二次不等式 的解集

T：对于二次项系数 是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？

S1：还是通过相应的二次函数图象来解.

T：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质（用几何画板制作的课件简要演示说明）.还有其他方法吗？

S2：可以先把二次项系数 化为正数，再求解.

T：非常好！由于我们对 这一情况有了较详细的认识，因此把 这一不熟悉的情况转化为 这一已知情况，正体现了化未知为已知的数学思想.

注  从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程.

4 尝试设计程序框图，归纳解法

T：下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.

学生活动：

师生活动：用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤：

（1）化二次项系数 为正数；（2）算 ；（3）结合图象，写一元二次不等式解集（心中有图）.

注  程序框图的设计，使学生对前面所学知识有了更系统的认识，进一步明确了求解一元二次不等式的步骤.

5 运用成果，解决问题

T: 让学生出题，由学生解答，引导不同的学生出不同类型的一元二次不等式（3、4个为宜）.

S：很活跃，积极参与.

注  以学生出题学生解答，教师在旁引导的形式设计，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式.

3.4　基本不等式

3.4　基本不等式

教学过程展示

1 从实际问题中，建立一元二次不等式模型（T：教师，S：学生）

T：随着网络的发展，上网已经是一种比较常见的休闲方式.大家知道网吧一般是怎样收费的吗？

S：积极回答.

T：看来大家对网吧收费行情了解的很全面，但我们不能沉迷于网络游戏，上网更重要的是帮助我们获取信息.下面我们来看一道有关网络收费的问题：

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家因特网服务公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.

一般来说，一次上网的时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么，一次上网多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？

师生活动：引导学生分析问题中的不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式 .

T：因此这个问题实际就是解不等式 的问题.这一不等式有几个未知数，最高次是多少？

S：只有1个未知数，最高次是2次.

T：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 .

注  从比较普遍的“网吧收费”问题讲起，再提出“网络收费”问题，低起点，贴进学生生活，利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想，又进一步加深了学生对“数学源于生活”的认识.

2 类比一元一次不等式解法，进行探究

T: 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图1）

引导学生观察P点在抛物线上移动时，随着P的横坐标

图1

的变化，P的纵坐标有什么变化，并得出以下结论：

（1） 轴是一条分界线，一次函数 与 轴的交点是分界点.

（2） 的解即为 在 轴上方的图象对应的 的范围；

的解即为 与 轴交点的横坐标；

的解即为 在 轴下方的图象对应的 的范围.

（3）写出 的解.

T：在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能否对一元二次不等式 的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？

师生活动：由教师演示几何画板制作的课件（如图2），不断拖动P点，引导学生完成以下问题：

（1）当 为何值时， ？

当 为何值时， ？

当 为何值时， ？

（2）方程 的解是        ；

图2

不等式 的解集是        ；

不等式 的解集是        （解决了引入问题）.

注  结合几何画板的动态演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲.

3 从特殊到一般，深入探究

T：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为 的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

3.1 探究一元二次不等式 的解集

由教师演示几何画板制作的课件（如图3），上下拖动P点，观察 的值以及抛物线与 轴 相关位置，引导学生得出一元二次不等式 的解

图3

集应分为 三种情况讨论，并组织学生完成以下表格：

3.2 讨论一元二次不等式 的解集

T：对于二次项系数 是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？

S1：还是通过相应的二次函数图象来解.

T：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质（用几何画板制作的课件简要演示说明）.还有其他方法吗？

S2：可以先把二次项系数 化为正数，再求解.

T：非常好！由于我们对 这一情况有了较详细的认识，因此把 这一不熟悉的情况转化为 这一已知情况，正体现了化未知为已知的数学思想.

注  从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程.

4 尝试设计程序框图，归纳解法

T：下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.

学生活动：

师生活动：用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤：

（1）化二次项系数 为正数；（2）算 ；（3）结合图象，写一元二次不等式解集（心中有图）.

注  程序框图的设计，使学生对前面所学知识有了更系统的认识，进一步明确了求解一元二次不等式的步骤.

5 运用成果，解决问题

T: 让学生出题，由学生解答，引导不同的学生出不同类型的一元二次不等式（3、4个为宜）.

S：很活跃，积极参与.

注  以学生出题学生解答，教师在旁引导的形式设计，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式.