3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计第二课时

3.1.3　二倍角的正弦、余… 高中数学       人教A版2003课标版

引导学生从两角和的正弦、余弦和正切公式推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，让学生理解角的符号的相对性。

1. 从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦和正切公式；

2. 运用二倍角公式进行简单的恒等变换，并灵活将公式变形。

1.学生已经学习了两角和的正弦、余弦和正切公式；

2.学生对公式的把握还只停留在记忆层次。

重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导；

难点：二倍角公式的化简运用。

2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?

(1)sin 2α=　         (α为任意角); 

(2)cos 2α=           (α为任意角); 

(3)tan 2α= 　       (α≠ +kπ,且α≠ + ,k∈Z)

sin(α/2) =　

cos(α/2) =　　

tan(α/2) =　　

“二倍角的三角函数”是在研究两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,并为以后的三角函数的求值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导,我们发现二倍角的内涵是揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律,还可以加深理解由一般到特殊的化归思想.

1.sin cos 的值为(　　).

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

2. 等于(　　).

A.- cos 1 B. cos 1

C.cos 1-sin 1   D.sin 1-cos 1

33. =　　　　. 

4.请回答“复习导入”中的问题.

直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值

将下列三角函数式进行化简或求值:

(1)8sin cos cos cos ;

(2) - ;

(3)(sin +cos )(sin -cos );

【方法指导】将所需化简或求值的式子转化为二倍角或半角公式的展开形式,再直接利用公式进行求解.

【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正确使用.

二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用

已知sin α+cos α= ,α∈(0, ),sin(β- )= ,β∈( , ).

(1)求sin 2α和tan 2α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

【方法指导】熟记二倍角或半角公式并能灵活运用公式,是解决这类问题的关键.

【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、漏解.

已知角的某种三角函数值求值或角

已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(- , ),则tan 的值是　　　　. 

【方法指导】由三角函数值求角时,要注意角度范围,有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.

【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.

将下列三角函数式进行化简或求值:

(1) ;

(2) (0<θ<π).

已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间[ , ]上的最小值和最大值.

已知tan(α-β)= ,tan β=- ,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

1.已知sin 2α= ,则cos2(α+ )=(　　).

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

2.若△ABC的内角A满足sin 2A= ,则sin A+cos A的值为(　　).

A. 　       B.- 　    C. 　         D.-

3.化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)- cos 2θ=　　　　　. 

4.函数f(x)= cos 2x+sin x,求f(x)在区间[- , ]上的最小值.

(2012年·四川卷)已知函数f(x)=cos2 -sin cos - .

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;

(2)若f(α)= ,求sin 2α的值.

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?

(1)sin 2α=　         (α为任意角); 

(2)cos 2α=           (α为任意角); 

(3)tan 2α= 　       (α≠ +kπ,且α≠ + ,k∈Z)

sin(α/2) =　

cos(α/2) =　　

tan(α/2) =　　

“二倍角的三角函数”是在研究两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,并为以后的三角函数的求值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导,我们发现二倍角的内涵是揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律,还可以加深理解由一般到特殊的化归思想.

1.sin cos 的值为(　　).

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

2. 等于(　　).

A.- cos 1 B. cos 1

C.cos 1-sin 1   D.sin 1-cos 1

33. =　　　　. 

4.请回答“复习导入”中的问题.

直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值

将下列三角函数式进行化简或求值:

(1)8sin cos cos cos ;

(2) - ;

(3)(sin +cos )(sin -cos );

【方法指导】将所需化简或求值的式子转化为二倍角或半角公式的展开形式,再直接利用公式进行求解.

【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正确使用.

二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用

已知sin α+cos α= ,α∈(0, ),sin(β- )= ,β∈( , ).

(1)求sin 2α和tan 2α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

【方法指导】熟记二倍角或半角公式并能灵活运用公式,是解决这类问题的关键.

【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、漏解.

已知角的某种三角函数值求值或角

已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(- , ),则tan 的值是　　　　. 

【方法指导】由三角函数值求角时,要注意角度范围,有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.

【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.

将下列三角函数式进行化简或求值:

(1) ;

(2) (0<θ<π).

已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间[ , ]上的最小值和最大值.

已知tan(α-β)= ,tan β=- ,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

1.已知sin 2α= ,则cos2(α+ )=(　　).

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

2.若△ABC的内角A满足sin 2A= ,则sin A+cos A的值为(　　).

A. 　       B.- 　    C. 　         D.-

3.化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)- cos 2θ=　　　　　. 

4.函数f(x)= cos 2x+sin x,求f(x)在区间[- , ]上的最小值.

(2012年·四川卷)已知函数f(x)=cos2 -sin cos - .

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;

(2)若f(α)= ,求sin 2α的值.