3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式公开课教案（教学设计）

3.1.3　二倍角的正弦、余… 高中数学       人教A版2003课标版

1、情感态度与价值观：渗透联系与转化的辩证思想，培养学生的数学素养；

2、过程与方法：从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出正弦、余弦、正切公式，体验它们的内在联系，感悟数学的化归思想和发现过程；

3、知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过对公式的正用、逆用、变形使用，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

1、从情感角度分析：大部分学生不愿意主动学习；

2、从认知角度分析：大部分学生基础知识欠缺，预备知识掌握的不够好；

3、从能力角度分析：学生主动学习能力、探究能力不具备。

教学重点：二倍角公式及其推导

教学难点：灵活应用二倍角公式

1、请学生回顾和角公式（学生板演，教师点评）；

S_(α+β)     ，C_(α+β) ，T_(α+β) ​。

2、（探索性提问）当上述公式中α=β时，公式变成什么形式？（请一名学生板书过程，教师巡视）；

3、集体订正后，教师引导学生观察公式的结构，并回答观察结果。

sin2α=2sinαcosα               →S_2α ；    cos2α=cos²α−sin²α                →C_2α ；

tan2α=2tanα1−tan²α                 →T_2α   (α≠π4 +kπ2  且α≠π2 +kπ ,k∈Z )

            这三个公式就是今天我们要学习的二倍角公式

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形，理解二者之间的联系；

2、（探索性提问）二倍角的余弦公式有无其它形式？

3、（深化性提问）T_2α ​成立的条件是什么？为什么？

4、（探索性提问）在T_2α 中，当左边的α=π2 +kπ(k∈Z) 时，虽然右边的tanα 不存在，但左边的tan2α 存在，能不能用T_2α 求tan2α ？该怎样求？

5、（深化性提问）二倍角公式中的倍数关系是相对的，如何理解这个倍数关系？

教科书第133页例5

已知 sin2α=513  ，π4 <α<π2  ，求sin4α，cos4α，tan4α 的值.

      设计意图：教科书没有安排简单套用倍角公式的例题，通过例5的解答，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，为此教科书在“旁白”中进行了适当的引导。

      点评：本例题中对α 有范围限制，在解答过程中应注意什么？仅知道sin2α 的值，要求sin4α，cos4α，tan4α 的值，先需要知道什么？在求值时，要灵活应用公式。

      方式：指导学生完成本例题的解答。

教科书第133页例6

在△ ABC中，tanA=45  ，tanB=2 ，求tan（2A+2B） 的值。

      设计意图：应用所学知识解解答三角综合问题，培养学生综合解题能力。

      点评：​由于对2A+2B与A、B之间的关系的认识不同会产生不同的解题思路，所以教科书给出了两种不同的解法。不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合使用，本质上没有什么区别。列出两种不同解法是为了鼓励用不同的方法去思考问题。值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如三角形的内角的范围，三角形内角和定理等。教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的归纳总结。

      方式：指导学生完成本例题的解答。

教科书第135页练习：

1、已知cosπ8 =−45  ,8π＜α＜12π ​，求sinα4 ，cosα4 ，tanα4  的值。（请一个学生板演，教师巡视）

2、已知sin（α−π）=35  ，求cos2α 的值。（请一个学生板演，教师巡视）

3、已知sin2α=−sinα ，α∈（π2 ,π ),求tanα 的值。（请一个板演，教师巡视）

4、已知tan2α=13  ，求tanα 的值。（请一个学生板演，教师巡视）

     方式：学生互评，教师点评。

教师指导学生小结这节课所学知识如下：

1、在和角公式S_(α+β),C_(α+β),T_(α+β) 中，当α=β 时，就可得到二倍角公式 S_2α,C_2α,T_2α .说明后者是前者的特例；

2、S_2α，C_2α 中α 没有条件限制，而T_2α 中只有α≠π4 +kπ2 且α≠π2 +kπ ,k∈Z 时才成立；

3、二倍角公式不仅限于2α与α 的二倍形式，其它如4α是2α 的二倍，α2 是α4  的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的二倍关系，才能熟练应用好二倍角公式。

1、复习今天所讲内容；

2、书面作业：教科书第138页习题3.1A组第15、16、19题

、本节公式较多，反复要求学生搞清楚各个公式之间的内在联系，也就是要很好地理解各知识之间的联系。理解如何由和角公式推导倍角公式，明确倍角的含义，熟练运用倍角公式进行求值、化简等三角运算和恒等变形；

2、学生在解题过程中，不知道综合运用公式，如前面所学的同角三角函数的基本关系、诱导公式以及和差角公式等等。帮助并指导学生在解题过程中，分析已知条件与求解目标之间的联系，选择适当的公式进行转化，明确解题思路、设计解题步骤、完善解答过程，培养逻辑思维能力；

3、通过一题多解，帮助学生学会思考与推理，训练发散思维，培养创新意识，提高数学素养。

二倍角的正弦、余弦、正切公式                    3、公式探究与变形                 5、课堂练习

1、回顾                                                           ①公式的适用范围                     教科书第135页练习：

S_(α+β),C_(α+β),T_(α+β)                         ②公式的变形                            1、2、3、4

2、推导二倍角公式                                         4、例题讲解                          6、小结

当α=β 时                                                    教科书第133页例5                 7、布置作业：课本第138页

S_(α+β)→S_2α ，C_（α+β）→C_{2α 教科书第133页例6}                 习题3.1A 15、16、19

T_（α+β）→T_2α 

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、请学生回顾和角公式（学生板演，教师点评）；

S_(α+β)     ，C_(α+β) ，T_(α+β) ​。

2、（探索性提问）当上述公式中α=β时，公式变成什么形式？（请一名学生板书过程，教师巡视）；

3、集体订正后，教师引导学生观察公式的结构，并回答观察结果。

sin2α=2sinαcosα               →S_2α ；    cos2α=cos²α−sin²α                →C_2α ；

tan2α=2tanα1−tan²α                 →T_2α   (α≠π4 +kπ2  且α≠π2 +kπ ,k∈Z )

            这三个公式就是今天我们要学习的二倍角公式

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形，理解二者之间的联系；

2、（探索性提问）二倍角的余弦公式有无其它形式？

3、（深化性提问）T_2α ​成立的条件是什么？为什么？

4、（探索性提问）在T_2α 中，当左边的α=π2 +kπ(k∈Z) 时，虽然右边的tanα 不存在，但左边的tan2α 存在，能不能用T_2α 求tan2α ？该怎样求？

5、（深化性提问）二倍角公式中的倍数关系是相对的，如何理解这个倍数关系？

教科书第133页例5

已知 sin2α=513  ，π4 <α<π2  ，求sin4α，cos4α，tan4α 的值.

      设计意图：教科书没有安排简单套用倍角公式的例题，通过例5的解答，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，为此教科书在“旁白”中进行了适当的引导。

      点评：本例题中对α 有范围限制，在解答过程中应注意什么？仅知道sin2α 的值，要求sin4α，cos4α，tan4α 的值，先需要知道什么？在求值时，要灵活应用公式。

      方式：指导学生完成本例题的解答。

教科书第133页例6

在△ ABC中，tanA=45  ，tanB=2 ，求tan（2A+2B） 的值。

      设计意图：应用所学知识解解答三角综合问题，培养学生综合解题能力。

      点评：​由于对2A+2B与A、B之间的关系的认识不同会产生不同的解题思路，所以教科书给出了两种不同的解法。不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合使用，本质上没有什么区别。列出两种不同解法是为了鼓励用不同的方法去思考问题。值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如三角形的内角的范围，三角形内角和定理等。教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的归纳总结。

      方式：指导学生完成本例题的解答。

教科书第135页练习：

1、已知cosπ8 =−45  ,8π＜α＜12π ​，求sinα4 ，cosα4 ，tanα4  的值。（请一个学生板演，教师巡视）

2、已知sin（α−π）=35  ，求cos2α 的值。（请一个学生板演，教师巡视）

3、已知sin2α=−sinα ，α∈（π2 ,π ),求tanα 的值。（请一个板演，教师巡视）

4、已知tan2α=13  ，求tanα 的值。（请一个学生板演，教师巡视）

     方式：学生互评，教师点评。

教师指导学生小结这节课所学知识如下：

1、在和角公式S_(α+β),C_(α+β),T_(α+β) 中，当α=β 时，就可得到二倍角公式 S_2α,C_2α,T_2α .说明后者是前者的特例；

2、S_2α，C_2α 中α 没有条件限制，而T_2α 中只有α≠π4 +kπ2 且α≠π2 +kπ ,k∈Z 时才成立；

3、二倍角公式不仅限于2α与α 的二倍形式，其它如4α是2α 的二倍，α2 是α4  的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的二倍关系，才能熟练应用好二倍角公式。

1、复习今天所讲内容；

2、书面作业：教科书第138页习题3.1A组第15、16、19题

、本节公式较多，反复要求学生搞清楚各个公式之间的内在联系，也就是要很好地理解各知识之间的联系。理解如何由和角公式推导倍角公式，明确倍角的含义，熟练运用倍角公式进行求值、化简等三角运算和恒等变形；

2、学生在解题过程中，不知道综合运用公式，如前面所学的同角三角函数的基本关系、诱导公式以及和差角公式等等。帮助并指导学生在解题过程中，分析已知条件与求解目标之间的联系，选择适当的公式进行转化，明确解题思路、设计解题步骤、完善解答过程，培养逻辑思维能力；

3、通过一题多解，帮助学生学会思考与推理，训练发散思维，培养创新意识，提高数学素养。

二倍角的正弦、余弦、正切公式                    3、公式探究与变形                 5、课堂练习

1、回顾                                                           ①公式的适用范围                     教科书第135页练习：

S_(α+β),C_(α+β),T_(α+β)                         ②公式的变形                            1、2、3、4

2、推导二倍角公式                                         4、例题讲解                          6、小结

当α=β 时                                                    教科书第133页例5                 7、布置作业：课本第138页

S_(α+β)→S_2α ，C_（α+β）→C_{2α 教科书第133页例6}                 习题3.1A 15、16、19

T_（α+β）→T_2α